ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\log_3 (12 — x) = x — 1.
\)

Решить уравнение:
\(
\log_3 (12 — x) = x — 1;
\)

Функция \(f(x) = \log_3 (12 — x)\) убывает;
Функция \(g(x) = x — 1\) возрастает;

Есть только одно решение:
\(
f(3) = \log_3 (12 — 3) = \log_3 9 = 2;
\)
\(
g(3) = 3 — 1 = 2;
\)

Ответ: 3.

Решить уравнение:

\(
\log_3 (12 — x) = x — 1.
\)

Определим функции:

\(
f(x) = \log_3 (12 — x), \quad g(x) = x — 1.
\)

Функция \(f(x)\) является убывающей, так как логарифм имеет отрицательный аргумент \(12 — x\), который уменьшается при увеличении \(x\). Это означает, что при увеличении \(x\) значение функции \(f(x)\) будет уменьшаться.

Функция \(g(x)\) является возрастающей, так как это линейная функция с положительным коэффициентом перед \(x\). Таким образом, значение функции \(g(x)\) будет увеличиваться с увеличением \(x\).

Поскольку \(f(x)\) убывает, а \(g(x)\) возрастает, уравнение может иметь только одно решение. Найдем это решение, подставив значение \(x = 3\):

\(
f(3) = \log_3 (12 — 3) = \log_3 9 = 2,
\)
\(
g(3) = 3 — 1 = 2.
\)

Таким образом, при \(x = 3\) мы получаем:

\(
f(3) = g(3).
\)

Это подтверждает, что \(x = 3\) является решением уравнения.

Ответ:

\(
3.
\)