ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\sin(x) — \cos(x) = 2x — 1
\)

Решить уравнение:
\(\sin x — \cos x = 2x — 1;\)
\(\sin x — x = \cos x + x — 1;\)

1) Функция убывает:
\(f(x) = \sin x — x;\)
\(f'(x) = \cos x — 1 \leq 0;\)
\(\cos x \leq 1;\)

2) Функция возрастает:
\(g(x) = \cos x + x — 1;\)
\(g'(x) = 1 — \sin x \geq 0;\)
\(\sin x \leq 1;\)

3) Есть только одно решение:
\(f(0) = \sin 0 — 0 = 0 — 0 = 0;\)
\(g(0) = \cos 0 + 0 — 1 = 1 — 1 = 1;\)

Ответ: 0.

Решим уравнение:

\(
\sin x — \cos x = 2x — 1
\)

Перепишем его в следующем виде:

\(
\sin x — x = \cos x + x — 1
\)

Обозначим функции:

1) Рассмотрим функцию, которая убывает:

\(
f(x) = \sin x — x
\)

Найдём её производную:

\(
f'(x) = \cos x — 1
\)

Поскольку \(\cos x \leq 1\), то \(f'(x) \leq 0\). Это означает, что функция \(f(x)\) убывает на всей своей области определения.

2) Теперь рассмотрим функцию, которая возрастает:

\(
g(x) = \cos x + x — 1
\)

Найдём её производную:

\(
g'(x) = 1 — \sin x
\)

Поскольку \(\sin x \leq 1\), то \(g'(x) \geq 0\). Это означает, что функция \(g(x)\) возрастает на всей своей области определения.

3) Теперь проверим наличие решений:

Вычислим значения функций в точке \(x = 0\):

Для функции \(f(x)\):

\(
f(0) = \sin(0) — 0 = 0 — 0 = 0
\)

Для функции \(g(x)\):

\(
g(0) = \cos(0) + 0 — 1 = 1 — 1 = 0
\)

Таким образом, в точке \(x = 0\) обе функции равны нулю:

\(
f(0) = g(0) = 0
\)

Поскольку функция \(f(x)\) убывает, а функция \(g(x)\) возрастает, и обе функции равны в точке \(x = 0\), это означает, что решение уравнения является единственным.

Ответ: \(x = 0\).