Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
\(
\begin{cases}
1) \quad (x^2 + 5x)^2 — 2x^2 — 10x — 24 = 0; \\
2) \quad \frac{12}{x(x+2)} — \frac{12}{(x+1)^2} = 1.
\end{cases}
\)
1) \((x^2 + 5x)^2 — 2x^2 — 10x — 24 = 0;\)
Пусть \(y = x^2 + 5x,\) тогда:
\(y^2 — 2y — 24 = 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100,\) тогда:
\(y_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6;\)
Первое значение:
\(x^2 + 5x = -4;\)
\(x^2 + 5x + 4 = 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1;\)
Второе значение:
\(x^2 + 5x = 6;\)
\(x^2 + 5x — 6 = 0;\)
\(D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1;\)
Ответ: \(-6; -4; -1; 1.\)
2)
\(
\frac{12}{x(x+2)} — \frac{12}{(x+1)^2} = 1;
\)
Пусть \(y = x^2 + 2x + 1,\) тогда:
\(
\frac{12}{y-1} — \frac{12}{y} = 1;
\)
\(
12y — 12(y-1) = y(y-1);
\)
\(
12y — 12y + 12 = y^2 — y;
\)
\(
y^2 — y — 12 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;
\)
Второе значение:
\(
x^2 + 2x + 1 = 4;
\)
\(
x^2 + 2x — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
Первое значение:
\(
x^2 + 2x + 1 = -3;
\)
\(
x^2 + 2x + 4 = 0;
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 4 = 4 — 16 = -12;
\)
\(
D < 0, \text{значит } x \text{ не имеет действительных решений;}
\)
Ответ: \(-3; 1.\)
1) Рассмотрим уравнение
\(
(x^2 + 5x)^2 — 2x^2 — 10x — 24 = 0.
\)
Пусть
\(
y = x^2 + 5x,
\)
тогда уравнение можно переписать как
\(
y^2 — 2y — 24 = 0.
\)
Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100.
\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:
\(
y_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4,
\)
\(
y_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6.
\)
Теперь рассмотрим первое значение \(y_1 = -4\):
\(
x^2 + 5x = -4.
\)
Переписываем уравнение:
\(
x^2 + 5x + 4 = 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.
\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:
\(
x_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1.
\)
Теперь рассмотрим второе значение \(y_2 = 6\):
\(
x^2 + 5x = 6.
\)
Переписываем уравнение:
\(
x^2 + 5x — 6 = 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49.
\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6,
\)
\(
x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1.
\)
Таким образом, окончательный ответ для первого уравнения:
\(
-6, -4, -1, 1.
\)
Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(
\frac{12}{x(x+2)} — \frac{12}{(x+1)^2} = 1.
\)
Пусть
\(
y = x^2 + 2x + 1,
\)
тогда уравнение можно переписать как
\(
\frac{12}{y-1} — \frac{12}{y} = 1.
\)
Умножим обе стороны на \(y(y-1)\):
\(
12y — 12(y-1) = y(y-1).
\)
Раскроем скобки:
\(
12y — 12y + 12 = y^2 — y.
\)
Сокращая, получаем:
\(
12 = y^2 — y.
\)
Переписываем уравнение:
\(
y^2 — y — 12 = 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.
\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:
\(
y_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3,
\)
\(
y_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4.
\)
Теперь рассмотрим второе значение \(y_2 = 4\):
\(
x^2 + 2x + 1 = 4.
\)
Переписываем уравнение:
\(
x^2 + 2x — 3 = 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.
\)
Теперь рассмотрим первое значение \(y_1 = -3\):
\(
x^2 + 2x + 1 = -3.
\)
Переписываем уравнение:
\(
x^2 + 2x + 4 = 0.
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot (4) = 4 — 16 = -12.
\)
Так как дискриминант отрицателен, значит
\(
D < 0, \text{значит } \text{ не имеет действительных решений;}
\)
Таким образом, окончательный ответ для второго уравнения:
\(
-3, 1.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.