ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{cases}
1) \quad (x^2 — 2x + 2)(x^2 — 2x — 4) = -5; \\
2) \quad \frac{x^2 — 3x}{2} — \frac{4}{x^2 — 3x} = 1.
\end{cases}
\)

1) \((x^2 — 2x + 2)(x^2 — 2x — 4) = -5;\)

Пусть \(y = x^2 — 2x — 4,\) тогда:
\((y + 6)y = -5;\)
\((y^2 + 6y + 5 = 0);\)

\((D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16),\) тогда:
\(
y_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1;
\)

Первое значение:
\(
x^2 — 2x — 4 = -5;
\)

\(
x^2 — 2x + 1 = 0;
\)

\(
(x — 1)^2 = 0;
\)

\(
x = 1;
\)

Второе значение:
\(
x^2 — 2x — 4 = -1;
\)

\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)

\(
D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Ответ: \(-1; 1; 3.\)

2)
\(
\frac{x^2 — 3x}{2} — \frac{4}{x^2 — 3x} = 1;
\)

Пусть \(y = x^2 — 3x,\) тогда:
\(
\frac{y}{2} — \frac{4}{y} = 1;
\)

\(
y^2 — 8 = 2y;
\)

\(
y^2 — 2y — 8 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;
\)

Второе значение:
\(
x^2 — 3x = 4;
\)

\(
x^2 — 3x — 4 = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;
\)

Первое значение:
\(
x^2 — 3x = -2;
\)

\(
x^2 — 3x + 2 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

Ответ: \(-1; 1; 2; 4.\)

Задача 1

Дано уравнение:
\(
(x^2 — 2x + 2)(x^2 — 2x — 4) = -5.
\)

Введём переменную:
\(
y = x^2 — 2x — 4.
\)

Тогда первое выражение можно переписать так:
\(
x^2 — 2x + 2 = (x^2 — 2x — 4) + 6 = y + 6.
\)

Подставим в исходное уравнение:
\(
(y + 6) \cdot y = -5.
\)

Раскроем скобки:
\(
y^2 + 6y = -5.
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
y^2 + 6y + 5 = 0.
\)

Рассчитаем дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)

Найдём корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{-6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 — 4}{2} = -5,
\)
\(
y_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1.
\)

Теперь решаем два квадратных уравнения для \(x\):

1. При \(y = -5\):
\(
x^2 — 2x — 4 = -5.
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
x^2 — 2x — 4 + 5 = 0,
\)
\(
x^2 — 2x + 1 = 0.
\)

Это квадратное уравнение:
\(
(x — 1)^2 = 0,
\)
откуда
\(
x = 1.
\)

2. При \(y = -1\):
\(
x^2 — 2x — 4 = -1,
\)
\(
x^2 — 2x — 3 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3.
\)

Ответ для задачи 1:
\(
x = -1, \quad x = 1, \quad x = 3.
\)

Задача 2

Дано уравнение:
\(
\frac{x^2 — 3x}{2} — \frac{4}{x^2 — 3x} = 1.
\)

Введём переменную:
\(
y = x^2 — 3x.
\)

Подставим:
\(
\frac{y}{2} — \frac{4}{y} = 1.
\)

Домножим всё уравнение на \(2y\) (при условии \(y \neq 0\)):
\(
y^2 — 8 = 2y.
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
y^2 — 2y — 8 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\)

Найдём корни:
\(
y_1 = \frac{2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2,
\)
\(
y_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\)

Рассмотрим каждое значение \(y\) как уравнение для \(x\):

1. При \(y = 4\):
\(
x^2 — 3x = 4,
\)
\(
x^2 — 3x — 4 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{3 — 5}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4.
\)

2. При \(y = -2\):
\(
x^2 — 3x = -2,
\)
\(
x^2 — 3x + 2 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{3 — \sqrt{1}}{2} = \frac{3 — 1}{2} = 1,
\)
\(
x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Ответ для задачи 2:
\(
x = -1, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = 4.
\)