ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{cases}
1) \quad 4^{x + \sqrt{x^2 — 2}} — 5 \cdot 2^{x + \sqrt{x^2 — 2} — 1} = 6; \\
2) \quad 2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3; \\
3) \quad 4^{\tan^2 x} + 8 = 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}.
\end{cases}
\)

1) \(4^{x+\sqrt{x^2-2}} — 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}-1} = 6;\)

\(2 \cdot 4^{x+\sqrt{x^2-2}} — 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}} — 12 = 0;\)

Пусть \(y = 2^{x+\sqrt{x^2-2}},\) тогда:
\(2y^2 — 5y — 12 = 0;\)

\(D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 12 = 25 + 96 = 121,\) тогда:
\(
y_1 = \frac{5 — 11}{2 \cdot 2} = -1.5, \quad y_2 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 2} = 4;
\)

Вернём замену:
\(
2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 4;
\)
\(
x + \sqrt{x^2 — 2} = 2;
\)
\(
\sqrt{x^2 — 2} = 2 — x;
\)
\(
x^2 — 2 = 4 — 4x + x^2;
\)
\(
4x = 6;
\)
\(
x = 1.5;
\)

Область определения:
\(
2 — x \geq 0;
\)
\(
x \leq 2;
\)

Ответ: \(1.5.\)

2) \(2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3;\)
\(2^{\sin^2 x} + 2^{1 — \sin^2 x} = 3;\)
Пусть \(y = 2^{\sin^2 x},\) тогда:
\(
y + \frac{2}{y} = 3;
\)
\(
y^2 — 3y + 2 = 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

Первое значение:
\(
2^{\sin^2 x} = 1;
\)
\(
\sin^2 x = 0;
\)
\(
\sin x = 0;
\)
\(
x = \pi n;
\)

Второе значение:
\(
2^{\sin^2 x} = 2;
\)
\(
\sin^2 x = 1;
\)
\(
\sin x = \pm 1;
\)
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Ответ:
\(
x = \pi n, \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\)

3) \(4^{\tan^2 x} + 8 = 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}};\)
\(4^{\tan^2 x} + 8 = 3 \cdot 2^{\tan^2 x + 1}.\)

Пусть \(y = 2^{\tan^2 x},\) тогда:
\(
y^2 + 8 = 3 \cdot 2y;
\)
\(
y^2 — 6y + 8 = 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\)

Первое значение:
\(
2^{\tan^2 x} = 2;
\)
\(
\tan^2 x = 1;
\)
\(
\tan x = \pm 1;
\)
\(
x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

Второе значение:
\(
2^{\tan^2 x} = 4;
\)
\(
\tan^2 x = 2;
\)
\(
\tan x = \pm \sqrt{2};
\)
\(
x = \pm \arctan \sqrt{2} + \pi n;
\)

Ответ:
\(
x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad \pm \arctan \sqrt{2} + \pi n.
\)

1) Уравнение

\(
4^{x+\sqrt{x^2-2}} — 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}-1} = 6.
\)

Перепишем первое слагаемое через степень двойки. Заметим, что \(4 = 2^2\), значит:

\(
4^{x+\sqrt{x^2-2}} = (2^2)^{x+\sqrt{x^2-2}} = 2^{2(x+\sqrt{x^2-2})}.
\)

Также перепишем второе слагаемое, используя свойства степеней:

\(
2^{x+\sqrt{x^2-2}-1} = \frac{2^{x+\sqrt{x^2-2}}}{2^1} = \frac{2^{x+\sqrt{x^2-2}}}{2}.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
2^{2(x+\sqrt{x^2-2})} — 5 \cdot \frac{2^{x+\sqrt{x^2-2}}}{2} = 6,
\)

что равносильно

\(
2^{2(x+\sqrt{x^2-2})} — \frac{5}{2} \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 6.
\)

Домножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

\(
2 \cdot 2^{2(x+\sqrt{x^2-2})} — 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 12.
\)

Пусть

\(
y = 2^{x+\sqrt{x^2-2}}.
\)

Тогда

\(
2^{2(x+\sqrt{x^2-2})} = \left(2^{x+\sqrt{x^2-2}}\right)^2 = y^2.
\)

Подставляем в уравнение:

\(
2y^2 — 5y = 12,
\)

или

\(
2y^2 — 5y — 12 = 0.
\)

Решаем квадратное уравнение по \(y\):

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121.
\)

Корни:

\(
y_1 = \frac{5 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5,
\)

\(
y_2 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4.
\)

Так как \(y = 2^{x+\sqrt{x^2-2}}\) — степень двойки, то \(y > 0\), следовательно, корень \(y_1 = -1.5\) отбрасываем.

Берём \(y = 4\), значит

\(
2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 4.
\)

Так как \(4 = 2^2\), приравниваем показатели степеней:

\(
x + \sqrt{x^2 — 2} = 2.
\)

Выразим \(\sqrt{x^2 — 2}\):

\(
\sqrt{x^2 — 2} = 2 — x.
\)

Чтобы корень был определён, должно выполняться

\(
2 — x \geq 0 — x \leq 2.
\)

Возводим обе части в квадрат:

\(
x^2 — 2 = (2 — x)^2 = 4 — 4x + x^2.
\)

Сократим \(x^2\) с обеих сторон:

\(
-2 = 4 — 4x,
\)

\(
-2 — 4 = -4x,
\)

\(
-6 = -4x,
\)

\(
x = \frac{6}{4} = 1.5.
\)

Проверяем условие области определения: \(1.5 \leq 2\) — верно.

Ответ:

\(
x = 1.5.
\)

2) Уравнение

\(
2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3.
\)

Так как \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), перепишем второе слагаемое:

\(
2^{\cos^2 x} = 2^{1 — \sin^2 x} = \frac{2}{2^{\sin^2 x}}.
\)

Пусть

\(
y = 2^{\sin^2 x}.
\)

Тогда уравнение примет вид:

\(
y + \frac{2}{y} = 3.
\)

Домножим на \(y\):

\(
y^2 + 2 = 3y,
\)

или

\(
y^2 — 3y + 2 = 0.
\)

Решаем квадратное уравнение:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни:

\(
y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1,
\)

\(
y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Рассмотрим оба корня.

Первое значение:

\(
2^{\sin^2 x} = 1,
\)

что возможно, если

\(
\sin^2 x = 0,
\)

то есть

\(
\sin x = 0.
\)

Общее решение:

\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Второе значение:

\(
2^{\sin^2 x} = 2,
\)

значит

\(
\sin^2 x = 1,
\)

то есть

\(
\sin x = \pm 1.
\)

Общее решение:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Ответ:

\(
x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

3) Уравнение

\(
4^{\tan^2 x} + 8 = 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}.
\)

Перепишем первое слагаемое через степень двойки, заметив, что \(4 = 2^2\):

\(
4^{\tan^2 x} = (2^2)^{\tan^2 x} = 2^{2\tan^2 x}.
\)

Таким образом, уравнение можно записать как:

\(
2^{2\tan^2 x} + 8 = 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}.
\)

Теперь перепишем \(8\) как \(2^3\):

\(
2^{2\tan^2 x} + 2^3 = 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}.
\)

Теперь умножим обе стороны на \(2^{-3}\) для упрощения:

\(
2^{2\tan^2 x — 3} + 1 = 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x} — 3}.
\)

Пусть \(y = 2^{\tan^2 x}\). Тогда:

\(
y^2 + 8 = 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}}.
\)

Теперь выразим \(y^2 + 8 — 3 \cdot 2^{\frac{1}{\cos^2 x}} = 0\).

Переписываем уравнение:

\(
y^2 — 6y + 8 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4.
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.
\)

Теперь вернемся к переменной \(y = 2^{\tan^2 x}\):

1. При \(y = 2\):
\(
2^{\tan^2 x} = 2 — \tan^2 x = 1 — \tan x = \pm 1 — x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n.
\)

2. При \(y = 4\):
\(
2^{\tan^2 x} = 4 — \tan^2 x = 2 — \tan x = \pm \sqrt{2} — x = \pm \arctan(\sqrt{2}) + \pi n.
\)

Ответ:
\(
x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \pm \arctan(\sqrt{2}) + \pi n.
\)