ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( 4^{(x^2 — x)} — 17 \cdot 2^{(x^2 — x + 2)} + 256 = 0; \)

2) \( 2^{(1 — 2\sin^2(x))} = 3 \cdot 2^{\cos(x)} — 4. \)

1) \(4^{(x^2 — x)} — 17 \cdot 2^{(x^2 — x + 2)} + 256 = 0;\)
\(2^{2(x^2 — x)} — 17 \cdot 4 \cdot 2^{(x^2 — x)} + 256 = 0;\)
Пусть \(y = 2^{(x^2 — x)}\), тогда:
\(y^2 — 68y + 256 = 0;\)
\(D = 68^2 — 4 \cdot 256 = 4624 — 1024 = 3600,\) тогда:
\(y_1 = \frac{68 — 60}{2} = 4\) и \(y_2 = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64;\)

Первое значение:
\(2^{(x^2 — x)} = 4;\)
\(x^2 — x = 2;\)
\(x^2 — x — 2 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\) и \(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;\)

Второе значение:
\(2^{(x^2 — x)} = 64;\)
\(x^2 — x = 6;\)
\(x^2 — x — 6 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;\)

Ответ: \(-2; -1; 2; 3.\)

2)
\(2^{(1 — 2 \sin^2 x)} = 3 \cdot 2^{(\cos^2 x)} — 4;\)
\(2^{(1 — 2 \sin^2 x)} = 3 \cdot 2^{(1 — \sin^2 x)} — 4;\)
Пусть \(y = 2^{(-\sin^2 x)}\), тогда:
\(2y^2 = 3 \cdot 2y — 4;\)
\(2y^2 — 6y + 4 = 0;\)
\(y^2 — 3y + 2 = 0;\)
\(D = 9 — 8 = 1,\) тогда
\(y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1,\quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;\)

Для первого значения:
\(2^{(-\sin^2 x)} = 1 — -\sin^2 x = 0 — \sin x = 0 — x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z};\)

Для второго значения:
\(2^{(-\sin^2 x)} = 2 — -\sin^2 x = 1 -\sin^2 x = -1,\)
что невозможно для действительных чисел, значит решений нет

Ответ:
\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Задача 1

Дано уравнение:

\(
4^{(x^2 — x)} — 17 \cdot 2^{(x^2 — x + 2)} + 256 = 0.
\)

Перепишем \(4^{(x^2 — x)}\) как \((2^2)^{(x^2 — x)} = 2^{2(x^2 — x)}\), тогда уравнение примет вид:

\(
2^{2(x^2 — x)} — 17 \cdot 2^{(x^2 — x + 2)} + 256 = 0.
\)

Вынесем \(2^{(x^2 — x)}\) за основу:

\(
2^{2(x^2 — x)} — 17 \cdot 4 \cdot 2^{(x^2 — x)} + 256 = 0,
\)

так как \(2^{2} = 4\).

Обозначим:

\(
y = 2^{(x^2 — x)}.
\)

Тогда уравнение становится:

\(
y^2 — 68 y + 256 = 0,
\)

где \( -17 \cdot 4 = -68 \).

Найдем дискриминант:

\(
D = (-68)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 — 1024 = 3600.
\)

Корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{68 — 60}{2} = \frac{8}{2} = 4,
\)
\(
y_2 = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64.
\)

Для первого значения \(y_1 = 4\):

\(
2^{(x^2 — x)} = 4 = 2^2,
\)
откуда

\(
x^2 — x = 2.
\)

Решаем квадратное уравнение:

\(
x^2 — x — 2 = 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Для второго значения \(y_2 = 64\):

\(
2^{(x^2 — x)} = 64 = 2^6,
\)
откуда

\(
x^2 — x = 6.
\)

Решаем квадратное уравнение:

\(
x^2 — x — 6 = 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.
\)

Ответ для задачи 1:

\(
x = -2, -1, 2, 3.
\)

Задача 2

Дано уравнение:

\(
2^{(1 — 2 \sin^2 x)} = 3 \cdot 2^{(\cos^2 x)} — 4.
\)

Используем тождество \(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\), тогда уравнение перепишется как:

\(
2^{(1 — 2 \sin^2 x)} = 3 \cdot 2^{(1 — \sin^2 x)} — 4.
\)

Обозначим:

\(
y = 2^{(-\sin^2 x)}.
\)

Тогда левая часть:

\(
2^{(1 — 2 \sin^2 x)} = 2 \cdot 2^{-2 \sin^2 x} = 2 \cdot (2^{(-\sin^2 x)})^2 = 2 y^2,
\)

а правая часть:

\(
3 \cdot 2^{(1 — \sin^2 x)} — 4 = 3 \cdot 2 \cdot 2^{(-\sin^2 x)} — 4 = 6 y — 4.
\)

Подставим в уравнение:

\(
2 y^2 = 6 y — 4.
\)

Переносим все в левую часть:

\(
2 y^2 — 6 y + 4 = 0.
\)

Разделим на 2:

\(
y^2 — 3 y + 2 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни:

\(
y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1,
\)
\(
y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Для первого значения \(y_1 = 1\):

\(
2^{(-\sin^2 x)} = 1 = 2^0,
\)
откуда

\(
-\sin^2 x = 0 — \sin^2 x = 0 — \sin x = 0.
\)

Решения:

\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Для второго значения \(y_2 = 2\):

\(
2^{(-\sin^2 x)} = 2 = 2^1,
\)
откуда

\(
-\sin^2 x = 1 — \sin^2 x = -1,
\)

что невозможно для действительных чисел, так как \(\sin^2 x \geq 0\).

Значит решений нет.

Ответ для задачи 2:

\(
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)