ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 26.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\sqrt{x}(9^{\sqrt{x^2 — 3}} — 3^{\sqrt{x^2 — 3}}) = 3^{(2\sqrt{x^2 — 3} + 1)} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3} + 1)} + 6\sqrt{x} — 18.
\)

Решить уравнение:

\(
\sqrt{x} \left( 9^{\sqrt{x^2 — 3}} — 3^{\sqrt{x^2 — 3}} \right) = 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3} + 1)} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3} + 1)} + 6 \sqrt{x} — 18;
\)

\(
\sqrt{x} \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} — 3 \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} \right) \right) = 6 \sqrt{x} — 18;
\)

\(
(\sqrt{x} — 3) \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} \right) = 6 (\sqrt{x} — 3);
\)

\(
(\sqrt{x} — 3) \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} — 6 \right) = 0;
\)

1) Первое уравнение:

\(
\sqrt{x} — 3 = 0;
\)

\(
\sqrt{x} = 3;
\)

\(
x = 9;
\)

2) Второе уравнение:

\(
3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} — 6 = 0;
\)

Дискриминант:

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,
\)

тогда:

\(
3^{(\sqrt{x^2 — 3})}_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2,
\)

и

\(
3^{(\sqrt{x^2 — 3})}_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;
\)

\(
\sqrt{x^2 — 3} = 1;
\)

\(
x^2 — 3 = 1;
\)

\(
x^2 = 4;
\)

\(
x = \pm 2;
\)

Ответ: \(2; \, 9.\)

Решим уравнение:

\(
\sqrt{x} \left( 9^{\sqrt{x^2 — 3}} — 3^{\sqrt{x^2 — 3}} \right) = 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3} + 1)} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3} + 1)} + 6 \sqrt{x} — 18.
\)

Сначала упростим левую часть уравнения. Заметим, что \(9^{\sqrt{x^2 — 3}} = (3^2)^{\sqrt{x^2 — 3}} = 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})}\). Таким образом, уравнение можно переписать как:

\(
\sqrt{x} \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} \right) = 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3} + 1)} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3} + 1)} + 6 \sqrt{x} — 18.
\)

Теперь упростим правую часть. Мы можем записать \(3^{(2 \sqrt{x^2 — 3} + 1)} = 3 \cdot 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})}\) и \(3^{(\sqrt{x^2 — 3} + 1)} = 3 \cdot 3^{(\sqrt{x^2 — 3})}\). Таким образом, уравнение становится:

\(
\sqrt{x} \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} \right) = 3 \cdot 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3 \cdot 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} + 6 \sqrt{x} — 18.
\)

Теперь можно вынести \(3^{(\sqrt{x^2 — 3})}\) из левой и правой части:

\(
\sqrt{x} \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} \right) = (6 \sqrt{x} — 18).
\)

Далее, мы можем упростить уравнение следующим образом:

\(
(\sqrt{x} — 3) \left( 3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} \right) = 6 (\sqrt{x} — 3).
\)

Теперь мы можем разделить обе стороны на \((\sqrt{x} — 3)\), при условии, что \(\sqrt{x} \neq 3\):

\(
3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} = 6.
\)

Теперь рассмотрим два случая.

1) Первый случай:

\(
\sqrt{x} — 3 = 0.
\)

Решим это уравнение:

\(
\sqrt{x} = 3,
\)
откуда

\(
x = 9.
\)

2) Второй случай:

Решаем уравнение

\(
3^{(2 \sqrt{x^2 — 3})} — 3^{(\sqrt{x^2 — 3})} — 6 = 0.
\)

Обозначим

\(
y = 3^{(\sqrt{x^2 — 3})}.
\)

Тогда уравнение можно переписать как:

\(
y^2 — y — 6 = 0.
\)

Найдем дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\)

Теперь найдем корни уравнения:

\(
y_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2,
\)
и
\(
y_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.
\)

Так как \(y_1 = -2\) не имеет смысла в контексте нашего уравнения, рассматриваем только \(y_2\):

\(
y_2 = 3.
\)

Подставляем обратно:

\(
3^{(\sqrt{x^2 — 3})} = 3,
\)
откуда

\(
\sqrt{x^2 — 3} = 1.
\)

Квадратируем обе стороны:

\(
x^2 — 3 = 1,
\)
что дает

\(
x^2 = 4.
\)

Таким образом,

\(
x = \pm 2.
\)

Теперь соберем все решения:

Ответ: \(x = 9; x = 2; x = -2.\)

Однако, учитывая, что \(x\) должно быть неотрицательным (так как мы имеем корень), окончательный ответ:

Ответ: \(x = 9; x = 2.\)