ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\sqrt{x^2 — 2x} > 4 — x\)

2) \(\sqrt{-x^2 — 8x — 12} > x + 4\)

3) \(\sqrt{\frac{x^3 + 27}{x}} > x — 3\)

1) \(\sqrt{x^2 — 2x} > 4 — x\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 2x > 16 — 8x + x^2,\quad 4 — x \geq 0
\)
\(
6x > 16,\quad x \leq 4
\)
\(
x > \frac{8}{3},\quad x \leq 4
\)

Второе неравенство:
\(
x^2 — 2x \geq 0,\quad 4 — x < 0
\)
\(
x(x — 2) \geq 0
\)
\(
x \leq 0,\quad x \geq 2,\quad x > 4
\)
\(
x > 4
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{8}{3}; +\infty\right)
\)

2) \(\sqrt{-x^2 — 8x — 12} \geq x + 4\)

Первое неравенство:
\(
-x^2 — 8x — 12 \geq x^2 + 8x + 16,\quad x + 4 \geq 0
\)
\(
2x^2 + 16x + 28 \leq 0
\)
\(
x^2 + 8x + 14 \leq 0
\)
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 14 = 64 — 56 = 8, \text{ тогда:}
\)
\(
x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -4 \pm \sqrt{2}
\)
\(
-4 — \sqrt{2} \leq x \leq -4 + \sqrt{2},\quad x \geq -4
\)
\(
-4 < x \leq -4 + \sqrt{2}
\)

Второе неравенство:

\(
-x^2 — 8x — 12 \geq 0,\quad x + 4 < 0;
\)
\(
x^2 + 8x + 12 \leq 0;
\)
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-8 — 4}{2} = -6,\quad x_2 = \frac{-8 + 4}{2} = -2;
\)
\(
(x + 6)(x + 2) \leq 0;
\)
\(
-6 \leq x \leq -2,\quad x < -4;
\)
\(
-6 \leq x < -4;
\)

Ответ:
\(
[-6; -4 + \sqrt{2}]
\)

3)

\(
\sqrt{\frac{x^3 + 27}{x}} > x — 3;
\)

Первое неравенство:

\(
\frac{x^3 + 27}{x} > x^2 — 6x + 9,\quad x — 3 \geq 0;
\)
\(
x^3 + 27 > x^3 — 6x^2 + 9x,\quad x \geq 3;
\)
\(
6x^2 — 9x + 27 > 0;
\)
\(
2x^2 — 3x + 9 > 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 — 72 = -63;
\)
\(
D < 0 \text{ и } a > 0,\text{ значит } x \in \mathbb{R};
\)
\(
x \geq 3;
\)

Второе неравенство:

\(
\frac{x^3 + 27}{x} \geq 0,\quad x — 3 < 0;
\)
\(
x \leq -3,\quad 0 < x < 3;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3] \cup (0; +\infty)
\)

1) \(\sqrt{x^2 — 2x} > 4 — x\)

Первое неравенство:

\(
x^2 — 2x > 16 — 8x + x^2
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 2x — x^2 + 8x — 16 > 0
\)

Это приводит к:

\(
6x > 16 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{16}{6} = \frac{8}{3}
\)

Также у нас есть условие:

\(
4 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 4
\)

Таким образом, мы имеем два условия:

\(
x > \frac{8}{3} \quad \text{и} \quad x \leq 4
\)

Второе неравенство:

\(
x^2 — 2x \geq 0
\)

Это можно записать как:

\(
x(x — 2) \geq 0
\)

Решаем это неравенство. Корни — \(x = 0\) и \(x = 2\). Таким образом, интервал решения:

\(
x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 2
\)

Также у нас есть условие:

\(
4 — x < 0 \quad \Rightarrow \quad x > 4
\)

Таким образом, мы имеем:

\(
x > 4
\)

Теперь обобщим результаты. Из первого неравенства мы получили:

\(
\left(\frac{8}{3}; 4\right)
\)

Из второго неравенства мы получили:

\(
(4; +\infty)
\)

Ответ:

\(
\left(\frac{8}{3}; +\infty\right)
\)

2) \(\sqrt{-x^2 — 8x — 12} \geq x + 4\)

Первое неравенство:

\(
-x^2 — 8x — 12 \geq x^2 + 8x + 16
\)

Упрощаем:

\(
-x^2 — 8x — 12 — x^2 — 8x — 16 \geq 0
\)

Это приводит к:

\(
-2x^2 — 16x — 28 \leq 0
\)

Умножим на -1 (не меняя знак):

\(
2x^2 + 16x + 28 \geq 0
\)

Делим на 2:

\(
x^2 + 8x + 14 \geq 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 14 = 64 — 56 = 8
\)

Корни уравнения:

\(
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8}}{2} = -4 \pm \sqrt{2}
\)

Таким образом, интервал решения:

\(
(-\infty; -4 — \sqrt{2}) \cup (-4 + \sqrt{2}; +\infty)
\)

Условие \(x + 4 \geq 0\) дает:

\(
x \geq -4
\)

Объединяя оба условия, получаем:

\(
(-4 + \sqrt{2}; +\infty)
\)

Второе неравенство:

\(
-x^2 — 8x — 12 \geq 0
\)

Упрощаем:

\(
x^2 + 8x + 12 \leq 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-8 — 4}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-8 + 4}{2} = -2
\)

Это дает интервал решения:

\(
(-6; -2)
\)

Также у нас есть условие \(x + 4 < 0\):

\(
x < -4 \) Объединяя условия, получаем: \( (-6; -4) \) Ответ: \( [-6; -4 + \sqrt{2}] \)

3) \(\sqrt{\frac{x^3 + 27}{x}} > x — 3\)

Первое неравенство:

\(
\frac{x^3 + 27}{x} > x^2 — 6x + 9
\)

Упрощаем:

\(
x^3 + 27 > x^3 — 6x^2 + 9x
\)

Это приводит к:

\(
6x^2 — 9x + 27 > 0
\)

Делим на 3:

\(
2x^2 — 3x + 9 > 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 — 72 = -63
\)

Так как \(D < 0\) и \(a > 0,\) значит, это неравенство выполняется для всех \(x\).

Также у нас есть условие \(x — 3 \geq 0:\)

\(
x \geq 3
\)

Второе неравенство:

\(
\frac{x^3 + 27}{x} \geq 0
\)

Это равносильно тому, что \(x^3 + 27 \geq 0,\) т.е. \(x^3 \geq -27,\) что выполняется при \(x > -3\).

Также у нас есть условие \(x — 3 < 0:\)

Это приводит к:

\(
x < 3 \) Таким образом, мы имеем два условия: 1. \(x > -3\)
2. \(x < 3\)

Ответ:

\(
(-\infty; -3] \cup [0; +\infty)
\)