ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\sqrt{1 — 3x} — \sqrt{5 + x} > 1\)

2) \(\sqrt{2x — 1} + \sqrt{x + 15} < 5\)

1) \(\sqrt{1 — 3x} — \sqrt{5 + x} > 1\)
\(\sqrt{1 — 3x} > 1 + \sqrt{5 + x}\)
\(1 — 3x > 1 + 2\sqrt{5 + x} + x + 5 + x\)
\(2\sqrt{5 + x} < -4x — 5\)
\(4(5 + x) < (-4x — 5)^2\)
\(20 + 4x < 16x^2 + 40x + 25\)
\(16x^2 + 36x + 5 > 0\)

Дискриминант:
\(D = 36^2 — 4 \cdot 16 \cdot 5 = 1296 — 320 = 976,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-36 + \sqrt{976}}{32}, \quad x_2 = \frac{-36 — \sqrt{976}}{32}
\)

Область определения:
\(1 — 3x \geq 0, \quad 5 + x \geq 0, \quad -4x — 5 > 0\)
\(
3x \leq 1, \quad x \geq -5, \quad 4x < -5
\)

Ответ:
\(
x \in [-5; -\frac{9 + \sqrt{61}}{8})
\)

2)

\(
\sqrt{2x — 1} + \sqrt{x + 15} \leq 5
\)

\(
2x — 1 + 2\sqrt{(2x — 1)(x + 15)} + x + 15 \leq 25
\)

\(
2\sqrt{2x^2 + 30x — x — 15} \leq 11 — 3x
\)

\(
4(2x^2 + 29x — 15) \leq (11 — 3x)^2
\)

\(
8x^2 + 116x — 60 \leq 121 — 66x + 9x^2
\)

\(
x^2 — 182x + 181 \geq 0
\)

\(
D = 182^2 — 4 \cdot 181 = 33,124 — 724 = 32,400
\)

\(
x_1 = \frac{182 — 180}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{182 + 180}{2} = 181
\)

\(
(x — 1)(x — 181) \geq 0, \quad x \leq 1, \quad x \geq 181
\)

\(
2x — 1 \geq 0, \quad x + 15 \geq 0, \quad 11 — 3x \geq 0
\)

\(
2x \geq 1, \quad x \geq -15, \quad x \leq \frac{11}{3}
\)

\(
x \in [\frac{1}{2}, 1]
\)

1)

Дано:
\(
\sqrt{1 — 3x} — \sqrt{5 + x} > 1
\)

Переносим \(\sqrt{5 + x}\) вправо:
\(
\sqrt{1 — 3x} > 1 + \sqrt{5 + x}
\)

Возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корни:
\(
1 — 3x > (1 + \sqrt{5 + x})^2
\)

Раскрываем квадрат:
\(
1 — 3x > 1 + 2\sqrt{5 + x} + x + 5 + x
\)

Упрощаем:
\(
1 — 3x > 6 + 2\sqrt{5 + x} + 2x
\)
\(
-3x — 2x > 6 — 1 — 2\sqrt{5 + x}
\)
\(
-5x > 5 + 2\sqrt{5 + x}
\)

Переносим \(2\sqrt{5 + x}\) влево:
\(
2\sqrt{5 + x} < -4x — 5
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
4(5 + x) < (-4x — 5)^2
\)

Раскрываем квадрат справа:
\(
4(5 + x) < 16x^2 + 40x + 25
\)

Упрощаем:
\(
20 + 4x < 16x^2 + 40x + 25
\)
\(
0 < 16x^2 + 36x + 5
\)
Или:
\(
16x^2 + 36x + 5 > 0
\)

Решаем квадратное неравенство:

Находим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 36^2 — 4 \cdot 16 \cdot 5 = 1296 — 320 = 976
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-36 + \sqrt{976}}{32}, \quad x_2 = \frac{-36 — \sqrt{976}}{32}
\)

Область определения:
Учитываем, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
\(
1 — 3x \geq 0, \quad 5 + x \geq 0, \quad -4x — 5 > 0
\)

Решаем каждое из условий:
1. \(1 — 3x \geq 0 — x \leq \frac{1}{3}\)
2. \(5 + x \geq 0 — x \geq -5\)
3. \(-4x — 5 > 0 — x < -\frac{5}{4}\)

Объединяем область определения:
\(
x \in [-5; -\frac{5}{4}]
\)

Ответ:
С учетом решения квадратного неравенства и области определения, окончательный ответ:
\(
x \in [-5; -\frac{9 + \sqrt{61}}{8})
\)

2)

Дано:
\(
\sqrt{2x — 1} + \sqrt{x + 15} \leq 5
\)

Раскрываем выражение:
\(
2x — 1 + 2\sqrt{(2x — 1)(x + 15)} + x + 15 \leq 25
\)

Преобразуем:
\(
2\sqrt{2x^2 + 30x — x — 15} \leq 11 — 3x
\)

Умножаем на \(4:\)
\(
4(2x^2 + 29x — 15) \leq (11 — 3x)^2
\)

Раскрываем квадрат справа:
\(
8x^2 + 116x — 60 \leq 121 — 66x + 9x^2
\)

Приводим подобные члены:
\(
x^2 — 182x + 181 \geq 0
\)

Находим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-182)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 181 = 33,124 — 724 = 32,400
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-182) — \sqrt{32,400}}{2}, \quad x_2 = \frac{-(-182) + \sqrt{32,400}}{2}
\)

Область определения:
Условия для подкоренных выражений:
1. \(2x — 1 \geq 0 — x \geq \frac{1}{2}\)
2. \(x + 15 \geq 0 — x \geq -15\)
3. \(11 — 3x \geq 0 — x \leq \frac{11}{3}\)

Ответ:
С учетом решения квадратного неравенства и области определения, окончательный ответ:
\(
x \in [\frac{1}{2}, 1]
\)