ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
\sqrt{x — 2} + \sqrt{2x + 5} > 3
\)

2)
\(
\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} < \sqrt{10 — x}
\)

1) \(\sqrt{x — 2} + \sqrt{2x + 5} > 3\);
\(x — 2 + 2\sqrt{(x — 2)(2x + 5)} + 2x + 5 > 9\);
\(2\sqrt{2x^2 + 5x — 4x — 10} > 6 — 3x\);
\(4(2x^2 + x — 10) > (6 — 3x)^2\);
\(8x^2 + 4x — 40 > 36 — 36x + 9x^2\);
\(x^2 — 40x + 76 < 0\);

Дискриминант:
\(D = 40^2 — 4 \cdot 76 = 1600 — 304 = 1296,\) тогда:
\[
x_1 = \frac{40 — 36}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{40 + 36}{2} = 38
\]

\((x — 2)(x — 38) < 0\);
\(2 < x < 38\);

Область определения:
\(\sqrt{x — 2} \geq 0, \quad \sqrt{2x + 5} \geq 0;\)
\(x \geq 2, \quad x \geq -\frac{5}{2}\);
\(x \geq 2.\)

Всегда верно:
\(
6 — 3x < 0;
\)
\(
3x > 6;
\)
\(
x > 2;
\)

Ответ: \((2; +\infty)\).

2)
\(
\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} \leq \sqrt{10 — x};
\)
\(
2\sqrt{x^2 — 5x} \leq \sqrt{10 — 2x};
\)
\(
x^2 — 5x \leq 5 — x;
\)
\(
x^2 — 5x \leq 25 — 10x + x^2;
\)
\(
5x \leq 25;
\)
\(
x \leq 5;
\)

Область определения:
\(
x \geq 0;
\)
\(
x — 5 \geq 0, \quad x \geq 5;
\)
\(
10 — x \geq 0, \quad x \leq 10;
\)

Условия:
\(
x = 0, \quad x = 10;
\)
\(
5 — x \geq 0, \quad x \leq 5;
\)

Ответ: \(\{5\}\).

1)

Дано:
\(
\sqrt{x — 2} + \sqrt{2x + 5} > 3
\)

Переносим \( \sqrt{2x + 5} \) вправо:
\(
\sqrt{x — 2} > 3 — \sqrt{2x + 5}
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
x — 2 > (3 — \sqrt{2x + 5})^2
\)

Раскрываем квадрат:
\(
x — 2 > 9 — 6\sqrt{2x + 5} + 2x + 5
\)

Упрощаем:
\(
x — 2 > 14 + 2x — 6\sqrt{2x + 5}
\)
\(
-2x + x — 16 > -6\sqrt{2x + 5}
\)
\(
-6\sqrt{2x + 5} > -16 — x
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
36(2x + 5) > (16 + x)^2
\)

Раскрываем квадрат справа:
\(
36(2x + 5) > x^2 + 32x + 256
\)
\(
72x + 180 > x^2 + 32x + 256
\)
Приводим подобные:
\(
0 > x^2 — 40x + 76
\)
Или:
\(
x^2 — 40x + 76 < 0
\)

Находим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 40^2 — 4 \cdot 76 = 1600 — 304 = 1296
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 — 36}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + 36}{2} = 38
\)

Решение неравенства:
\(
(x — 2)(x — 38) < 0
\)
Интервал, где выражение отрицательно:
\(
2 < x < 38
\)

Область определения:
Для \( \sqrt{x — 2} \geq 0 \):
\(
x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2
\)

Для \( \sqrt{2x + 5} \geq 0 \):
\(
2x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{5}{2}
\)

Пересечение условий:
\(
x \geq 2
\)

Всегда верно:
\(
6 — 3x < 0
\)
Упрощаем:
\(
3x > 6
\)
Решаем:
\(
x > 2
\)

Ответ:
\(
(2; +\infty)
\)

2)

Дано:
\(
\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} \leq \sqrt{10 — x}
\)

Переносим \( \sqrt{x} \) вправо:
\(
\sqrt{x — 5} \leq \sqrt{10 — x} — \sqrt{x}
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
x — 5 \leq (\sqrt{10 — x} — \sqrt{x})^2
\)

Раскрываем квадрат справа:
\(
x — 5 \leq (10 — x) + x — 2\sqrt{x(10 — x)}
\)

Упрощаем:
\(
x — 5 \leq 10 — x + x — 2\sqrt{x(10 — x)}
\)
Приводим подобные:
\(
-5 \leq 10 — x — 2\sqrt{x(10 — x)}
\)

Переносим \(10 — x\) влево:
\(
-15 + x \leq -2\sqrt{x(10 — x)}
\)

Возводим обе части в квадрат:
\(
(-15 + x)^2 \leq 4x(10 — x)
\)

Раскрываем квадрат слева и упрощаем справа:
\(
225 — 30x + x^2 \leq 40x — 4x^2
\)

Приводим подобные:
\(
5x^2 — 70x + 225 \geq 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
Находим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-70)^2 — 4(5)(225) = 4900 — 4500 = 400
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}
\)

Область определения:
Для \( x \geq 0, x — 5 \geq 0, x \leq 10 \):
Решение условий даёт пересечение интервалов.

Ответ:
\(x = {5}\).