ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( 2\sin^2(x) — 7\sin(x) + 3 > 0 \)

2) \( \sin(x) + \cos(2x) > 1 \)

3) \( \tan^2(x) — 3\tan(x) + 2 < 0 \)

1) \(2 \sin^2 x — 7 \sin x + 3 > 0\);

\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25\), тогда:

\(
\sin x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}
\)
и
\(
\sin x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = 3
\)

\(
(\sin x — \frac{1}{2})(\sin x — 3) > 0;
\)
\(
\sin x < \frac{1}{2}, \quad \sin x > 3;
\)

Ответ: \(\left(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right)\).

2) \(\sin x + \cos 2x > 1\);

\(
\sin x + 1 — 2 \sin^2 x > 1;
\)
\(
2 \sin^2 x — \sin x < 0;
\)
\(
\sin x \cdot (2 \sin x — 1) < 0;
\)
\(
0 < \sin x < \frac{1}{2};
\)

Ответ: \(\left(2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right)\).

3) \(\tan^2 x — 3 \tan x + 2 < 0\);

\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\), тогда:

\(
\tan x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1
\)
и
\(
\tan x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
\)

\(
(\tan x — 1)(\tan x — 2) < 0;
\)
\(
1 < \tan x < 2;
\)

Ответ: \(\left(\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctan 2 + \pi n\right)\).

1) Решим неравенство:

\(
2 \sin^2 x — 7 \sin x + 3 > 0
\)

Сначала найдем дискриминант:

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25
\)

Теперь найдем корни:

\(
\sin x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}
\)
и
\(
\sin x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = 3
\)

Теперь запишем неравенство в виде произведения:

\(
(\sin x — \frac{1}{2})(\sin x — 3) > 0
\)

Решим это неравенство. У нас есть два случая:

1. \(\sin x < \frac{1}{2}\)
2. \(\sin x > 3\)

Однако, так как значение функции \(\sin x\) не может превышать 1, второй случай не имеет смысла. Таким образом, остаётся только первый случай:

\(
\sin x < \frac{1}{2}
\)

Для нахождения решений этого неравенства, определим промежутки, где \(\sin x < \frac{1}{2}\):

Ответ:

\(
\left(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right)
\)

2) Решим неравенство:

\(
\sin x + \cos 2x > 1
\)

Используем формулу для косинуса двойного угла:

\(
\cos 2x = 1 — 2 \sin^2 x
\)

Подставим это в неравенство:

\(
\sin x + 1 — 2 \sin^2 x > 1
\)

Упростим неравенство:

\(
-2 \sin^2 x + \sin x > 0
\)

Перепишем его в стандартной форме:

\(
2 \sin^2 x — \sin x < 0
\)

Факторизуем:

\(
\sin x (2 \sin x — 1) < 0
\)

Теперь найдём промежутки, где это неравенство выполняется. Мы имеем два случая:

1. \(0 < \sin x < \frac{1}{2}\)

Ответ:

\(
\left(2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right)
\)

3) Решим неравенство:

\(
\tan^2 x — 3 \tan x + 2 < 0
\)

Сначала найдем дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\)

Теперь найдем корни:

\(
\tan x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1
\)
и
\(
\tan x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
\)

Запишем неравенство в виде произведения:

\(
(\tan x — 1)(\tan x — 2) < 0
\)

Решим это неравенство. Оно выполняется, когда:

1. \(1 < \tan x < 2\)

Ответ:

\(
\left(\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctan 2 + \pi n\right)
\)