ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\cos(2x) \tan(x) < 0\)

2) \(\sin^2(x) \cos(x) + \cos^2(x) \sin(x) < 0\)

3) \((\sin(x) + \cos(x))(\sqrt{3} \sin(x) — \cos(x)) > 0\)

4) \((\tan(x) — \sqrt{3}) \sin(x) < 0\)

1) \(\cos 2x \cdot \tan x < 0\);

Первое неравенство:

\(\cos 2x > 0;\)

\(
-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)
\(
-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

Второе неравенство:

\(\tan x > 0;\)

\(
\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Ответ:

\(
\left(-\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi n \right) \cup \left(\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)
\)

2) \(\sin^2 x \cos x + \cos^2 x \sin x < 0;\)

\(
\sin x \cos x (\sin x + \cos x) < 0;
\)
\(
\frac{1}{2} \sin 2x (\sin x + \cos x) < 0;
\)

Первое неравенство:

\(\sin 2x > 0;\)

\(
2\pi n < 2x < \pi + 2\pi n;
\)
\(
\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

\(
-\pi + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

\(
\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n;
\)

Второе неравенство:

\(
\sin x + \cos x > 0;
\)
\(
\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x > 0;
\)
\(
\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x > 0;
\)
\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0;
\)
\(
2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi n;
\)
\(
-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
(-\pi + 2\pi n; -\frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; 2\pi n) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right)
\)

3) \((\sin x + \cos x)(\sqrt{3} \sin x — \cos x) > 0;\)

Первое неравенство:

\(
\sin x + \cos x > 0;
\)
\(
\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x > 0;
\)
\(
\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x > 0;
\)
\(
\sin \left(\frac{\pi}{4} + x\right) > 0;
\)
\(
2\pi n < \frac{\pi}{4} + x < \pi + 2\pi n;
\)
\(
-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
\)

Второе неравенство:

\(
\sqrt{3} \sin x — \cos x < 0;
\)
\(
\sqrt{3} \sin x < \cos x;
\)
\(
\sin x < \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x;
\)

cos(π/6)sin x − sin(π/6)cos x < 0;

\(
\sin \left(x — \frac{\pi}{6}\right) < 0;
\)

\(
-\pi + 2\pi n < x — \frac{\pi}{6} < 2\pi n;
\)
\(
-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n;
\)

Искомое множество:

\(
\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x_1 \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;
\)
\(
-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x_2 \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n\right)
\)

4) \((\tan x — \sqrt{3}) \sin x \leq 0;\)

Первое неравенство:

\(
\tan x — \sqrt{3} \geq 0;
\)
\(
\tan x \geq \sqrt{3};
\)
\(
\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x_1 < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x_2 < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;
\)

Второе неравенство:

\(
\sin x \geq 0;
\)
\(
2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;
\)

Ответ:
\(
[2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n] \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n\right) \cup \left[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)
\)

1) \(\cos 2x \cdot \tan x < 0\)

Для произведения двух выражений быть отрицательным, один из множителей должен быть положительным, а другой отрицательным.

Рассмотрим два случая:

Случай 1:
\(\cos 2x > 0\) и \(\tan x < 0\)

Решим первое неравенство:
\(
\cos 2x > 0
\)
\(
2x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)
\)
\(
x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{\pi}{4} + \pi n\right)
\)

Решим второе неравенство:
\(
\tan x < 0
\)
\(
x \in \left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)
\)

Пересечение интервалов:
\(
\left(-\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{\pi}{4} + \pi n\right) \cap \left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)
\)
Интервалы не пересекаются, так как \(\frac{\pi}{4} + \pi n < \frac{\pi}{2} + \pi n\).

Случай 2:
\(\cos 2x < 0\) и \(\tan x > 0\)

Решим первое неравенство:
\(
\cos 2x < 0
\)
\(
2x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)
\)
\(
x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n\right)
\)

Решим второе неравенство:
\(
\tan x > 0
\)
\(
x \in \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)
\)

Пересечение интервалов:
\(
\left(\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n\right) \cap \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)
\)
Общий интервал:
\(
\left(\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)
\)

Случай 3:
\(\cos 2x > 0\) и \(\tan x > 0\)

Решим первое неравенство:
\(
\cos 2x > 0
\)
\(
x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{\pi}{4} + \pi n\right)
\)

Решим второе неравенство:
\(
\tan x > 0
\)
\(
x \in \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)
\)

Пересечение интервалов:
\(
\left(-\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{\pi}{4} + \pi n\right) \cap \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)
\)
Общий интервал:
\(
\left(\pi n;\ \frac{\pi}{4} + \pi n\right)
\)

Случай 4:
\(\cos 2x < 0\) и \(\tan x < 0\)

Решим первое неравенство:
\(
x \in \left(\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n\right)
\)

Решим второе неравенство:
\(
x \in \left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)
\)

Пересечение интервалов:
\(
\left(\frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n\right) \cap \left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \pi + \pi n\right)
\)
Общий интервал:
\(
\left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n\right)
\)

Объединяя все найденные интервалы:

\(
\left(\pi n;\ \frac{\pi}{4} + \pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n\right)
\)

Это и есть ответ.

Рассмотрим подробное решение неравенства:

\(
\sin^2 x \cos x + \cos^2 x \sin x < 0
\)

Преобразуем выражение:

\(
\sin^2 x \cos x + \cos^2 x \sin x = \sin x \cos x (\sin x + \cos x)
\)

Значит, неравенство принимает вид:

\(
\sin x \cos x (\sin x + \cos x) < 0
\)

Воспользуемся формулой двойного угла:

\(
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x
\)

Получаем:

\(
\frac{1}{2} \sin 2x (\sin x + \cos x) < 0
\)

Это произведение двух множителей, чтобы оно было отрицательным, один из множителей должен быть положительным, а другой отрицательным.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1:
\(
\sin 2x > 0, \quad \sin x + \cos x < 0
\)

Рассмотрим первое неравенство:

\(
\sin 2x > 0
\)
\(
2x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)
\)
\(
x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)
\)

Рассмотрим второе неравенство:

\(
\sin x + \cos x < 0
\)

Преобразуем с помощью формулы суммы:

\(
\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)
\)
\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0
\)
\(
x + \frac{\pi}{4} \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)
\)
\(
x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)
\)

Пересечение интервалов:

\(
(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \cap (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)
\)

Эти интервалы не пересекаются для любого целого \( n \).

Случай 2:
\(
\sin 2x < 0, \quad \sin x + \cos x > 0
\)

Рассмотрим первое неравенство:

\(
\sin 2x < 0
\)
\(
2x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)
\)
\(
x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)
\)

Рассмотрим второе неравенство:

\(
\sin x + \cos x > 0
\)
\(
x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)
\)

Пересечение интервалов:

\(
(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n) \cap (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)
\)

Найдём пересечение для \( n = 0 \):

\(
(\frac{\pi}{2}, \pi) \cap (-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})
\)

Интервал пересечения:

\(
(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})
\)

Для \( n = 1 \):

\(
(\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \cap (\frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{4})
\)

Интервал пересечения:

\(
(\frac{7\pi}{4}, 2\pi)
\)

Аналогично для других \( n \).

Ещё один случай:
\(
\sin 2x < 0, \quad \sin x + \cos x < 0
\)

Рассмотрим первое неравенство:

\(
x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)
\)

Второе:

\(
x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)
\)

Пересечение:

Для \( n = 0 \):

\(
(\frac{\pi}{2}, \pi) \cap (\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4})
\)
\(
(\frac{3\pi}{4}, \pi)
\)

Для \( n = 1 \):

\(
(\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \cap (\frac{11\pi}{4}, \frac{15\pi}{4})
\)
\(
(\frac{11\pi}{4}, 2\pi)
\)

Последний случай:
\(
\sin 2x > 0, \quad \sin x + \cos x > 0
\)

Первое:

\(
x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)
\)

Второе:

\(
x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)
\)

Пересечение для \( n = 0 \):

\(
(0, \frac{\pi}{2}) \cap (-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})
\)
\(
(0, \frac{\pi}{2})
\)

Для \( n = 1 \):

\(
(\pi, \frac{3\pi}{2}) \cap (\frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{4})
\)
\(
(\frac{7\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})
\)

Итак, объединяя все интервалы, получаем:

\(
(-\pi + 2\pi n, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)
\)

Это и есть ответ.

3)
\(
(\sin x + \cos x)(\sqrt{3} \sin x — \cos x) > 0
\)

Рассмотрим два случая:

1. \(\sin x + \cos x > 0\) и \(\sqrt{3} \sin x — \cos x > 0\)
2. \(\sin x + \cos x < 0\) и \(\sqrt{3} \sin x — \cos x < 0\)

Рассмотрим первый случай.

\(
\sin x + \cos x > 0
\)

Преобразуем:

\(
\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)
\)
\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0
\)
\(
2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi n
\)
\(
-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n
\)

Второе неравенство:

\(
\sqrt{3} \sin x — \cos x > 0
\)
\(
\sqrt{3} \sin x > \cos x
\)
\(
\sin x > \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x
\)

Преобразуем к виду с одной функцией:

\(
\sin x — \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x > 0
\)

Заметим, что \(\sin \alpha — k \cos \alpha = R \sin(\alpha — \varphi)\), где \(R = \sqrt{1 + k^2}\), \(\varphi = \arctan k\).

В данном случае:

\(
\sin x — \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} \sin \left(x — \arctan \frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\)
\(
\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}
\)

Таким образом:

\(
\sin \left(x — \frac{\pi}{6}\right) > 0
\)
\(
2\pi n < x — \frac{\pi}{6} < \pi + 2\pi n
\)
\(
\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n
\)

Теперь найдём пересечение интервалов:

\(
\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right) \cap \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right)
\)

Левый конец: максимальное из двух левых концов:

\(
\max\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{6} + 2\pi n
\)

Правый конец: минимальное из двух правых концов:

\(
\min\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n
\)

Итак, интервал:

\(
\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right)
\)

Теперь рассмотрим второй случай:

\(
\sin x + \cos x < 0
\)
\(
\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0
\)
\(
\pi + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi n
\)
\(
\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n
\)

Второе неравенство:

\(
\sqrt{3} \sin x — \cos x < 0
\)
\(
\sin \left(x — \frac{\pi}{6}\right) < 0
\)
\(
\pi + 2\pi n < x — \frac{\pi}{6} < 2\pi + 2\pi n
\)
\(
\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n
\)

Пересечение:

\(
\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right) \cap \left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right)
\)

Левый конец: максимальное из двух левых концов:

\(
\max\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right)
\)

Правый конец: минимальное из двух правых концов:

\(
\min\left(\frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right)
\)

Так как \(\frac{3\pi}{4} < \frac{7\pi}{6}\), то левый конец \(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n\).
\(\frac{7\pi}{4} > \frac{13\pi}{6}\), то правый конец \(\frac{13\pi}{6} + 2\pi n\).

Итак, второй интервал:

\(
\left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right)
\)

Объединяя оба случая, получаем ответ:

\(
\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right)
\)

4)
\(
(\tan x — \sqrt{3}) \sin x \leq 0
\)

Рассмотрим два случая:

1. \(\tan x — \sqrt{3} \geq 0\), \(\sin x \leq 0\)
2. \(\tan x — \sqrt{3} \leq 0\), \(\sin x \geq 0\)

Рассмотрим первый случай:

\(
\tan x — \sqrt{3} \geq 0
\)
\(
\tan x \geq \sqrt{3}
\)

Значения \(x\), при которых \(\tan x = \sqrt{3}\):

\(
x = \frac{\pi}{3} + \pi n
\)

Значит, \(\tan x \geq \sqrt{3}\) на интервалах:

\(
x \in \left(\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)
\)

Теперь \(\sin x \leq 0\):

\(
x \in ( \pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n )
\)

Пересечение этих интервалов:

Для \(n = 0\):

\(
\left( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right) \cap ( \pi, 2\pi ) \text{ — пересечений нет}
\)

Для \(n = 1\):

\(
\left( \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2} \right) \cap ( 3\pi, 4\pi ) \text{ — пересечений нет}
\)

То есть решений в этом случае нет.

Рассмотрим второй случай:

\(
\tan x — \sqrt{3} \leq 0
\)
\(
\tan x \leq \sqrt{3}
\)

Это выполняется на остальных промежутках.

\(\sin x \geq 0\):

\(
x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)
\)

Объединяя все интервалы, получаем:

\(
x \in [2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n] \cup [\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)
\)

Это и есть ответ.