Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \(\cos(x) — \sin(2x) — \cos(3x) < 0\)
2) \(\cot(x) > \cot(3x)\)
3) \((2\cos(x) — 1) \cot(x) > 0\)
1) \(\cos x — \sin 2x — \cos 3x < 0\);
\((\cos x — \cos 3x) — \sin 2x < 0;\)
\(-2 \sin 2x \sin(-x) — \sin 2x < 0;\)
\(2 \sin x \sin 2x — \sin 2x < 0;\)
\(\sin 2x (2 \sin x — 1) < 0;\)
Первое неравенство:
\(\sin 2x > 0;\)
\(2\pi n < 2x < \pi + 2\pi n;\)
\(\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;\)
\(2\pi n < x_1 < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\)
\(-\pi + 2\pi n < x_2 < -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\)
Второе неравенство:
\(2 \sin x — 1 > 0;\)
\(\sin x > \frac{1}{2};\)
\(\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\)
Ответ:
\(
(-\pi + 2\pi n; -\frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)
\)
2) \(\text{ctg} x > \text{ctg} 3x\);
\(
\frac{\cos x}{\sin x} — \frac{\cos 3x}{\sin 3x} > 0;
\)
\(
\frac{\cos x \sin 3x — \cos 3x \sin x}{\sin x \sin 3x} > 0;
\)
\(
\frac{\sin 2x}{\sin x \sin 3x} > 0;
\)
\(
\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x \sin 3x} > 0;
\)
\(
\frac{\cos x}{\sin 3x} > 0;
\)
Первое неравенство:
\(
\cos x > 0;
\)
\(
-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)
Второе неравенство:
\(
\sin 3x < 0;
\)
\(
-\pi + 2\pi n < 3x < 2\pi n;
\)
\(
-\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{2\pi n}{3};
\)
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x_1 < 2\pi n;
\)
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x_2 < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x_3 < 2\pi n;
\)
Искомое множество:
\(
-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x_2 < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x_3 < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
\pi + 2\pi n < x_4 < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;
\)
Область определения:
\(
x \neq \pi n, \quad 3x \neq \pi n;
\)
\(
x \neq \pi n, \quad x \neq \frac{\pi n}{3};
\)
Ответ:
\(
(\pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n)
\)
3) \((2 \cos x — 1) \cot x \geq 0;\)
Первое неравенство:
\(
2\cos x — 1 \geq 0;
\)
\(
\cos x \geq \frac{1}{2};
\)
\(
-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;
\)
\(
\frac{5\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{3} + 2\pi n;
\)
Второе неравенство:
\(
\cot x \leq 0;
\)
\(
\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x < \pi + 2\pi n;
\)
\(
\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n;
\)
\(
\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < x_2 < 2\pi + 2\pi n;
\)
Ответ:
\(
(2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n] \cup [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n) \cup [\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]
\)
1) \(\cos x — \sin 2x — \cos 3x < 0\)
Преобразуем выражение:
\(
\cos x — \sin 2x — \cos 3x < 0
\)
Перегруппируем:
\(
(\cos x — \cos 3x) — \sin 2x < 0
\)
Воспользуемся формулой разности косинусов:
\(
\cos x — \cos 3x = -2 \sin ( \frac{x + 3x}{2} ) \sin ( \frac{x — 3x}{2} ) = -2 \sin 2x \sin(-x)
\)
Подставим в исходное неравенство:
\(
-2 \sin 2x \sin(-x) — \sin 2x < 0
\)
\(
-2 \sin 2x (-\sin x) — \sin 2x < 0
\)
\(
2 \sin x \sin 2x — \sin 2x < 0
\)
\(
\sin 2x (2 \sin x — 1) < 0
\)
Рассмотрим произведение:
\(
\sin 2x > 0, \quad 2 \sin x — 1 < 0
\)
или
\(
\sin 2x < 0, \quad 2 \sin x — 1 > 0
\)
Первый случай: \(\sin 2x > 0\)
\(
2x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)
\)
\(
x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)
\)
Второй случай: \(2 \sin x — 1 > 0\)
\(
\sin x > \frac{1}{2}
\)
\(
x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)
\)
Итоговый ответ:
\(
(-\pi + 2\pi n; -\frac{\pi}{2} + 2\pi n) \cup (2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)
\)
2) \(\text{ctg} x > \text{ctg} 3x\)
Запишем через тригонометрические функции:
\(
\frac{\cos x}{\sin x} — \frac{\cos 3x}{\sin 3x} > 0
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
\frac{\cos x \sin 3x — \cos 3x \sin x}{\sin x \sin 3x} > 0
\)
В числителе используем формулу разности:
\(
\cos x \sin 3x — \cos 3x \sin x = \sin 3x \cos x — \sin x \cos 3x = \sin(3x — x) = \sin 2x
\)
Получаем:
\(
\frac{\sin 2x}{\sin x \sin 3x} > 0
\)
\(
\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x \sin 3x} > 0
\)
\(
\frac{\cos x}{\sin 3x} > 0
\)
То есть, требуется чтобы \(\cos x\) и \(\sin 3x\) были одного знака.
Первое неравенство: \(\cos x > 0\)
\(
x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)
\)
Второе неравенство: \(\sin 3x < 0\)
\(
3x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)
\)
\(
x \in (\frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})
\)
или
\(
3x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)
\)
\(
x \in (\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})
\)
или
\(
3x \in (2\pi + 2\pi n, 3\pi + 2\pi n)
\)
\(
x \in (\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \pi + 2\pi n)
\)
Пересечение с областью определения:
\(
x \neq \pi n, \quad x \neq \frac{\pi n}{3}
\)
Итоговый ответ:
\(
(\pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n)
\)
3) \((2 \cos x — 1) \cot x \geq 0\)
Рассмотрим отдельно каждое неравенство.
Первое неравенство: \(2\cos x — 1 \geq 0\)
\(
2\cos x — 1 \geq 0
\)
\(
\cos x \geq \frac{1}{2}
\)
\(
x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \cup (\frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n)
\)
Второе неравенство: \(\cot x \leq 0\)
\(
\cot x \leq 0 — x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)
\)
Итоговое пересечение:
\(
(2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n] \cup [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n) \cup [\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.