Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \((3 — x)^{\frac{1}{3}} + \sqrt{x — 2} < 1\)
2) \(\frac{\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 — x}}{\sqrt{21 + x} — \sqrt{21 — x}} > \frac{21}{x}\)
1) \(\sqrt[3]{3 — x} + \sqrt{x — 2} \leq 1\);
Пусть \(a = \sqrt[3]{3 — x}\) и \(b = \sqrt{x — 2}\), тогда:
\(3 — x = a^3\), \(x — 2 = b^2\), \(a + b = 1\);
\(x = 3 — a^3\), \(x = b^2 + 2\), \(b = 1 — a\);
Решения уравнения:
\(x = (1 — a)^2 + 2 = 3 — a^3;\)
\(1 — 2a + a^2 + 2 = 3 — a^3;\)
\(a^3 + a^2 — 2a = 0;\)
\(a(a^2 + a — 2) = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:
\(a_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2\) и \(a_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\);
\(a = 0, \quad x = 3 — 0^3 = 3;\)
\(a = -2, \quad x = 3 — (-2)^3 = 11;\)
\(a = 1, \quad x = 3 — 1^3 = 2;\)
Область определения:
\(x — 2 \geq 0;\)
\(x \geq 2;\)
Найдём значения:
\(\sqrt[3]{3 — 2.5} + \sqrt{2.5 — 2} = \sqrt[3]{0.5} + \sqrt{0.5} > 1;\)
\(\sqrt[3]{3 — 4} + \sqrt{4 — 2} = \sqrt[3]{-1} + \sqrt{2} < 1;\)
\(\sqrt[3]{3 — 30} + \sqrt{30 — 2} = \sqrt[3]{-27} + \sqrt{28} > 1;\)
Ответ: \([3; 11] \cup \{2\}\).
2)
\(
\frac{\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 — x}}{\sqrt{21 + x} — \sqrt{21 — x}} \geq \frac{21}{x};
\)
\(
\sqrt{x \left( \frac{21}{x} + 1 + \sqrt{\frac{21}{x} — 1} \right)} \geq \frac{21}{x};
\)
\(
\sqrt{x \left( \sqrt{\frac{21}{x} + 1} — \sqrt{\frac{21}{x} — 1} \right)} \geq \frac{21}{x};
\)
Пусть \( y = \frac{21}{x} \), тогда:
\(
\frac{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y — 1}}{\sqrt{y + 1} — \sqrt{y — 1}} \geq y;
\)
\(
\frac{(y + 1) + 2 \sqrt{(y + 1)(y — 1)} + (y — 1)}{(y + 1) — (y — 1)} \geq y;
\)
\(
\frac{2y + 2\sqrt{y^2 — 1}}{2} \geq y;
\)
\(
y + \sqrt{y^2 — 1} \geq y;
\)
\(
\sqrt{y^2 — 1} \geq 0;
\)
\(
y + 1 \geq 0, \quad y — 1 \geq 0;
\)
\(
y \geq -1, \quad y \geq 1;
\)
\(
y = \frac{21}{x} \geq 1;
\)
\(
x — \frac{21}{x} \leq 0;
\)
\(
0 < x \leq 21;
\)
Область определения:
\(21 + x \geq 0\), \(21 — x \geq 0\), \(x \neq 0\);
\(x \geq -21\), \(x \leq 21\), \(x \neq 0\);
Ещё один корень:
\(
\frac{\sqrt{21 + 21} + \sqrt{21 + 21}}{\sqrt{21 — 21} — \sqrt{21 + 21}} \geq \frac{21}{-21};
\)
\(
-1 \geq -1, \quad x = -21;
\)
Ответ: \((0; 21] \cup \{-21\}\).
1) Рассмотрим неравенство:
\(
\sqrt[3]{3 — x} + \sqrt{x — 2} \leq 1
\)
Пусть \(a = \sqrt[3]{3 — x}\) и \(b = \sqrt{x — 2}\). Тогда:
\(
3 — x = a^3, \quad x — 2 = b^2, \quad a + b = 1
\)
Из этих равенств можно выразить \(x\):
\(
x = 3 — a^3, \quad x = b^2 + 2, \quad b = 1 — a
\)
Решим уравнение:
\(
x = (1 — a)^2 + 2 = 3 — a^3
\)
Раскроем скобки:
\(
1 — 2a + a^2 + 2 = 3 — a^3
\)
Приведем подобные:
\(
a^3 + a^2 — 2a = 0
\)
Факторизуем:
\(
a(a^2 + a — 2) = 0
\)
Находим дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9
\)
Находим корни:
\(
a_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad a_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\)
Теперь подставим найденные значения \(a\) для нахождения \(x\):
1. Если \(a = 0\):
\(
x = 3 — 0^3 = 3
\)
2. Если \(a = -2\):
\(
x = 3 — (-2)^3 = 11
\)
3. Если \(a = 1\):
\(
x = 3 — 1^3 = 2
\)
Область определения:
\(
x — 2 \geq 0 — x \geq 2
\)
Теперь найдем значения функции в различных точках:
1. Для \(x = 2.5\):
\(
\sqrt[3]{3 — 2.5} + \sqrt{2.5 — 2} = \sqrt[3]{0.5} + \sqrt{0.5} > 1
\)
2. Для \(x = 4\):
\(
\sqrt[3]{3 — 4} + \sqrt{4 — 2} = \sqrt[3]{-1} + \sqrt{2} < 1
\)
3. Для \(x = 30\):
\(
\sqrt[3]{3 — 30} + \sqrt{30 — 2} = \sqrt[3]{-27} + \sqrt{28} > 1
\)
Ответ:
\(
[3; 11] \cup \{2\}
\)
2) Рассмотрим неравенство:
\(
\frac{\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 — x}}{\sqrt{21 + x} — \sqrt{21 — x}} \geq \frac{21}{x}
\)
Умножим обе части на \(x(\sqrt{21 + x} — \sqrt{21 — x})\) (при \(x > 0\)):
\(
x(\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 — x}) \geq 21(\sqrt{21 + x} — \sqrt{21 — x})
\)
Теперь упростим:
\(
x \left( \frac{21}{x} + 1 + \sqrt{\frac{21}{x} — 1} \right) \geq \frac{21}{x}
\)
Пусть \(y = \frac{21}{x}\), тогда:
\(
\frac{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y — 1}}{\sqrt{y + 1} — \sqrt{y — 1}} \geq y
\)
Умножим обе части на \((y + 1) — (y — 1)\):
\(
(y + 1) + 2 \sqrt{(y + 1)(y — 1)} \geq y((y + 1) — (y — 1))
\)
Упростим:
\(
2y + 2\sqrt{y^2 — 1} \geq y
\)
Перепишем неравенство:
\(
y + \sqrt{y^2 — 1} \geq y
\)
Из этого следует:
\(
\sqrt{y^2 — 1} \geq 0
\)
Следовательно:
\(
y + 1 \geq 0, \quad y — 1 \geq 0
\)
Отсюда получаем:
\(
y \geq -1, \quad y \geq 1
\)
Так как \(y = \frac{21}{x}\), получаем:
\(
\frac{21}{x} \geq 1
\)
Это приводит к неравенству:
\(
x — \frac{21}{x} \leq 0
\)
Решение:
\(
0 < x \leq 21
\)
Область определения:
\(21 + x \geq 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,21 — x \geq 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \neq 0;\)
Это дает:
\(
x \geq -21, \quad x \leq 21, \quad x \neq 0;
\)
Теперь проверим еще один корень:
Для \(x = -21\):
\(
-\frac{\sqrt{21 + (-21)} + \sqrt{21 + (-21)}}{\sqrt{21 — (-21)} — \sqrt{21 + (-21)}} \geq \frac{21}{-21}
\)
Упрощая, получаем:
\(
-1 \geq -1
\)
Ответ:
\(
(0; 21] \cup {-21}
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.