ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \((10 — x)^{\frac{1}{3}} + \sqrt{x — 1} > 3\)

2) \(\frac{\sqrt{6 + x} + \sqrt{6 — x}}{\sqrt{6 + x} — \sqrt{6 — x}} < \frac{6}{x}\)

1)
\(
\sqrt[3]{10 — x} + \sqrt{x — 1} \geq 3;
\)

Пусть \( a = \sqrt[3]{10 — x} \) и \( b = \sqrt{x — 1} \), тогда:
\( 10 — x = a^3 \),
\( x — 1 = b^2 \),
\( a + b = 3 \);

\( x = 10 — a^3 \),
\( x = b^2 + 1 \),
\( b = 3 — a \);

Решения уравнения:
\(
x = (3 — a)^2 + 1 = 10 — a^3;
\)
\(
9 — 6a + a^2 + 1 = 10 — a^3;
\)
\(
a^3 + a^2 — 6a = 0;
\)
\(
a(a^2 + a — 6) = 0;
\)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \), тогда:
\(
a_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)

\( a = 0, \quad x = 10 — 0^3 = 10; \)
\( a = -3, \quad x = 10 — (-3)^3 = 37; \)
\( a = 2, \quad x = 10 — 2^3 = 2; \)

Область определения:
\( x — 1 \geq 0; \)
\( x \geq 1; \)

Найдём значения:
\(
\sqrt[3]{10 — 1} + \sqrt{1 — 1} = \sqrt[3]{9} + 0 < 3;
\)
\(
\sqrt[3]{10 — 6} + \sqrt{6 — 1} = \sqrt[3]{4} + \sqrt{5} > 3;
\)
\(
\sqrt[3]{10 — 18} + \sqrt{18 — 1} = \sqrt[3]{-8} + \sqrt{17} < 3;
\)
\(
\sqrt[3]{10 — 74} + \sqrt{74 — 1} = \sqrt[3]{-64} + \sqrt{73} > 3;
\)

Ответ:
\(
[2; 10] \cup [37; +\infty).
\)

2)
\(
\frac{\sqrt{6 + x} + \sqrt{6 — x}}{\sqrt{6 + x} — \sqrt{6 — x}} \leq \frac{6}{x};
\)

\(
\sqrt{x \left( \sqrt{\frac{6}{x} + 1} + \sqrt{\frac{6}{x} — 1} \right)} \leq \frac{6}{x};
\)

Пусть \( y = \frac{6}{x} \), тогда:

\(
\frac{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y — 1}}{\sqrt{y + 1} — \sqrt{y — 1}} \geq y;
\)

\(
\frac{(y + 1) + 2\sqrt{(y + 1)(y — 1)} + (y — 1)}{(y + 1) — (y — 1)} \geq y;
\)

\(
\frac{2y + 2\sqrt{y^2 — 1}}{2} \geq y;
\)

\(
y + \sqrt{y^2 — 1} \geq y;
\)

\(
\sqrt{y^2 — 1} \geq 0;
\)

\(
y + 1 \geq 0, \quad y — 1 \geq 0;
\)

\(
y \geq -1, \quad y \geq 1;
\)

\(
y = \frac{6}{x} \geq 1;
\)

\(
x — \frac{6}{x} \leq 0;
\)

\(
0 < x \leq 6;
\)

Область определения:
\(6 + x \geq 0\), \(6 — x \geq 0\), \(x \neq 0\);
\(x \geq -6\), \(x \leq 6\), \(x \neq 0\);

Ещё один корень:

\(
\frac{\sqrt{6 + 6} + \sqrt{6 + 6}}{\sqrt{6 — 6} — \sqrt{6 + 6}} \geq \frac{6}{-6};
\)

\(
-1 \geq -1, \quad x = -6;
\)

Ответ: \( [ -6; 0 ) \cup \{ 6 \} \).

1)
\(
\sqrt[3]{10 — x} + \sqrt{x — 1} \geq 3
\)

Обозначим:
\(
a = \sqrt[3]{10 — x}, \qquad b = \sqrt{x — 1}
\)
Тогда:
\(
10 — x = a^3
\)
\(
x — 1 = b^2
\)
\(
a + b \geq 3
\)

Выразим \( x \) через \( a \) и через \( b \):

\(
x = 10 — a^3
\)
\(
x = b^2 + 1
\)
Из равенства \( a + b = 3 \) получаем:
\(
b = 3 — a
\)

Подставим выражения для \( x \):

\(
10 — a^3 = (3 — a)^2 + 1
\)
Раскроем скобки:
\(
(3 — a)^2 = 9 — 6a + a^2
\)
\(
10 — a^3 = 9 — 6a + a^2 + 1
\)
\(
10 — a^3 = 10 — 6a + a^2
\)
\(
-a^3 = -6a + a^2
\)
\(
a^3 + a^2 — 6a = 0
\)
Вынесем \( a \) за скобки:
\(
a(a^2 + a — 6) = 0
\)
Решим квадратное уравнение:
\(
a^2 + a — 6 = 0
\)
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)
\(
a_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}
\)
\(
a_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \qquad a_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\)

Также есть корень \( a = 0 \).

Теперь найдём соответствующие значения \( x \):

Для \( a = 0 \):
\(
x = 10 — 0^3 = 10
\)

Для \( a = 2 \):
\(
x = 10 — 2^3 = 10 — 8 = 2
\)

Для \( a = -3 \):
\(
x = 10 — (-3)^3 = 10 — (-27) = 37
\)

Теперь проверим область определения исходного неравенства:

\(
x — 1 \geq 0 — x \geq 1
\)

Также подкоренное выражение \( 10 — x \) определено для кубического корня всегда.

Проверим значения функции в точках:

Для \( x = 1 \):
\(
\sqrt[3]{10 — 1} + \sqrt{1 — 1} = \sqrt[3]{9} + 0 \approx 2.08 < 3
\)

Для \( x = 2 \):
\(
\sqrt[3]{10 — 2} + \sqrt{2 — 1} = \sqrt[3]{8} + 1 = 2 + 1 = 3
\)
Равенство достигается.

Для \( x = 10 \):
\(
\sqrt[3]{10 — 10} + \sqrt{10 — 1} = 0 + 3 = 3
\)
Равенство достигается.

Для \( x = 37 \):
\(
\sqrt[3]{10 — 37} + \sqrt{37 — 1} = \sqrt[3]{-27} + \sqrt{36} = -3 + 6 = 3
\)
Равенство достигается.

Проверим промежутки между корнями:

Для \( x \in (2, 10) \):
Подкоренные выражения положительны, значения функции возрастают, неравенство выполняется.

Для \( x > 37 \):
\(
\sqrt[3]{10 — x} \to -\infty, \sqrt{x — 1} \to +\infty
\)
Но сумма всегда больше 3, начиная с \( x = 37 \).

Ответ:
\(
[2; 10] \cup [37; +\infty)
\)

2)
\(
\frac{\sqrt{6 + x} + \sqrt{6 — x}}{\sqrt{6 + x} — \sqrt{6 — x}} \leq \frac{6}{x}
\)

Введём замену:
\(
y = \frac{6}{x}
\)
Тогда:
\(
x = \frac{6}{y}
\)
Подставим в исходное выражение:

\(
\frac{\sqrt{6 + \frac{6}{y}} + \sqrt{6 — \frac{6}{y}}}{\sqrt{6 + \frac{6}{y}} — \sqrt{6 — \frac{6}{y}}} \leq y
\)

Перейдём к другому виду:

\(
\frac{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y — 1}}{\sqrt{y + 1} — \sqrt{y — 1}} \geq y
\)

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое:

\(
\frac{(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y — 1})^2}{(y + 1) — (y — 1)} \geq y
\)
\(
(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y — 1})^2 = (y + 1) + 2\sqrt{(y + 1)(y — 1)} + (y — 1) =
\)
\(
= 2y + 2\sqrt{y^2 — 1}
\)
Знаменатель:
\(
(y + 1) — (y — 1) = 2
\)
Итак,
\(
\frac{2y + 2\sqrt{y^2 — 1}}{2} \geq y
\)
\(
y + \sqrt{y^2 — 1} \geq y
\)
\(
\sqrt{y^2 — 1} \geq 0
\)
А это возможно при:
\(
y^2 — 1 \geq 0 — y \geq 1 \quad \text{или} \quad y \leq -1
\)

Также из области определения:
\(
6 + x \geq 0 — x \geq -6
\)
\(
6 — x \geq 0 — x \leq 6
\)
\(
x \neq 0
\)

Теперь рассмотрим \( y = \frac{6}{x} \):

Для \( y \geq 1 \):
\(
\frac{6}{x} \geq 1 — 6 \geq x
\)
Но также \( x > 0 \).

\(
0 < x \leq 6
\)

Для \( y \leq -1 \):
\(
\frac{6}{x} \leq -1 — x < 0, \quad x \geq -6
\)
То есть:
\(
-6 \leq x < 0
\)

Дополнительно, проверяем \( x = 6 \) и \( x = -6 \):

Для \( x = 6 \):
\(
y = \frac{6}{6} = 1
\)
Для \( x = -6 \):
\(
y = \frac{6}{-6} = -1
\)
Подставим в исходное неравенство, оба значения подходят.

Итак, окончательный ответ:
\(
[-6; 0) \cup (6)
\)