ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \((83 — x)^{\frac{1}{4}} + (79 + x)^{\frac{1}{4}} < 6\)

2) \((11 — x)^{\frac{1}{4}} + (x + 5)^{\frac{1}{4}} > 2\)

3) \(3x^5 + (3x^3 + 4x + 1)^{\frac{1}{3}} < 5\)

4) \((\sqrt{x + 2} + 1) \log_4 (x^2 + 4x + 20) > 2\)

5) \(\log_2 (\sqrt{x — 1} + 2) \log_5 (x^2 + x + 3) > 1\)

1) \(\sqrt[4]{83 — x} + \sqrt[4]{79 + x} \leq 6\);

Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \sqrt[4]{83 — x} + \sqrt[4]{79 + x} \)

\( f'(x) = -\frac{1}{4}(83 — x)^{-\frac{3}{4}} + \frac{1}{4}(79 + x)^{-\frac{3}{4}}; \)

\( f'(x) = \frac{(83 — x)^{\frac{3}{4}} — (79 + x)^{\frac{3}{4}}}{4 (83 — x)^{\frac{3}{4}} (79 + x)^{\frac{3}{4}}} \geq 0; \)

\( (83 — x)^{\frac{3}{4}} — (79 + x)^{\frac{3}{4}} \geq 0; \)

\( 83 — x \geq 79 + x; \)

\( 2x \leq 4; \)

\( x \leq 2; \)

Максимум функции:
\( f(2) = \sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{81} = 3 + 3 = 6; \)

Область определения:
\( 83 — x \geq 0, \quad 79 + x \geq 0; \)

\( x \leq 83, \quad x \geq -79; \)

Ответ: [-79; 83].

2) \(\sqrt[4]{11 — x} + \sqrt[4]{x + 5} \geq 2;\)

Рассмотрим функцию:
\( f(x) = \sqrt[4]{11 — x} + \sqrt[4]{x + 5}; \)

\( f'(x) = -\frac{1}{4} (11 — x)^{-\frac{3}{4}} + \frac{1}{4} (x + 5)^{-\frac{3}{4}}; \)

\(
f'(x) = \frac{(11 — x)^{\frac{3}{4}} — (x + 5)^{\frac{3}{4}}}{4 (11 — x)^{\frac{3}{4}} (x + 5)^{\frac{3}{4}}} \geq 0;
\)

\(
(11 — x)^{\frac{3}{4}} — (x + 5)^{\frac{3}{4}} \geq 0;
\)

\(
11 — x \geq x + 5;
\)

\(
2x \leq 6;
\)

\(
x \leq 3;
\)

Минимум функции:

\(
f(-5) = \sqrt[4]{11 + 5} = \sqrt[4]{16} = 2;
\)

\(
f(11) = \sqrt[4]{11 + 5} = \sqrt[4]{16} = 2;
\)

Область определения:

\(
11 — x \geq 0, \quad x + 5 \geq 0;
\)

\(
x \leq 11, \quad x \geq -5;
\)

Ответ: [-5; 11].

3)
\( 3x^5 + \sqrt[3]{3x^3 + 4x + 1} < 5; \)

Перепишем:

\(
\sqrt[3]{3x^3 + 4x + 1} < 5 — 3x^5;
\)

Функция возрастает:

\(
f(x) = \sqrt[3]{3x^3 + 4x + 1};
\)

\(
f'(x) = \frac{9x^2 + 4}{3} \cdot (3x^3 + 4x + 1)^{-\frac{2}{3}} \geq 0;
\)

Функция убывает:

\(
g(x) = 5 — 3x^5;
\)

\(
g'(x) = -3 \cdot 5 x^4 = -15 x^4 \leq 0;
\)

Точка пересечения:

\(
f(1) = \sqrt[3]{3 + 4 + 1} = \sqrt[3]{8} = 2;
\)

\(
g(1) = 5 — 3 \cdot 1^5 = 2;
\)

Ответ: (-∞; 1).

4)
\(
(\sqrt{x + 2} + 1) \log_4 (x^2 + 4x + 20) \geq 2;
\)

Область определения:
\(
x + 2 \geq 0; \quad x \geq -2;
\)

Первый множитель:
\(
\sqrt{x + 2} + 1 \geq 1;
\)

Второй множитель:
\(
x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2;
\)

\(
y_0 = 4 — 8 + 20 = 16;
\)

\(
x^2 + 4x + 20 \geq 16;
\)

\(
\log_4 (x^2 + 4x + 20) \geq 2;
\)

Ответ: [-2; +∞).

5)
\(
\log_2 (\sqrt{x — 1} + 2) \log_5 (x^2 + x + 3) \geq 1;
\)

Область определения:
\(
x — 1 \geq 0; \quad x \geq 1;
\)

Первый множитель:
\(
\sqrt{x — 1} + 2 \geq 2;
\)

\(
\log_2 (\sqrt{x — 1} + 2) \geq 1;
\)

Второй множитель:
\(
x_0 = -\frac{1}{2};
\)

\(
y_0 = 1 + 1 + 3 = 5;
\)

\(
\log_5 (x^2 + x + 3) \geq 1;
\)

Ответ: [1; +∞).

1)
Рассмотрим неравенство
\(
\sqrt[4]{83 — x} + \sqrt[4]{79 + x} \leq 6.
\)

Определим функцию
\(
f(x) = \sqrt[4]{83 — x} + \sqrt[4]{79 + x}.
\)

Найдём производную:
\(
f'(x) = -\frac{1}{4} (83 — x)^{-\frac{3}{4}} + \frac{1}{4} (79 + x)^{-\frac{3}{4}}.
\)

Приведём к общему виду:
\(
f'(x) = \frac{(83 — x)^{\frac{3}{4}} — (79 + x)^{\frac{3}{4}}}{4 (83 — x)^{\frac{3}{4}} (79 + x)^{\frac{3}{4}}}.
\)

Для того, чтобы функция возрастала, необходимо:
\(
f'(x) \geq 0 — (83 — x)^{\frac{3}{4}} — (79 + x)^{\frac{3}{4}} \geq 0.
\)

Поскольку степени положительные и монотонны, это равносильно:
\(
83 — x \geq 79 + x,
\)
откуда
\(
2x \leq 4 — x \leq 2.
\)

Проверим значение функции в точке максимума \(x = 2\):
\(
f(2) = \sqrt[4]{83 — 2} + \sqrt[4]{79 + 2} = \sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{81} = 3 + 3 = 6.
\)

Область определения функции задаётся условиями подкоренных выражений:
\(
83 — x \geq 0 — x \leq 83,
\)
\(
79 + x \geq 0 — x \geq -79.
\)

Итог:
\(
x \in [-79, 83].
\)

Так как максимум функции равен 6 при \(x=2\), то неравенство
\(
f(x) \leq 6
\)
выполнено на всей области определения.

2)
Рассмотрим неравенство
\(
\sqrt[4]{11 — x} + \sqrt[4]{x + 5} \geq 2.
\)

Определим функцию
\(
f(x) = \sqrt[4]{11 — x} + \sqrt[4]{x + 5}.
\)

Найдём производную:
\(
f'(x) = -\frac{1}{4} (11 — x)^{-\frac{3}{4}} + \frac{1}{4} (x + 5)^{-\frac{3}{4}}.
\)

Приведём к общему виду:
\(
f'(x) = \frac{(11 — x)^{\frac{3}{4}} — (x + 5)^{\frac{3}{4}}}{4 (11 — x)^{\frac{3}{4}} (x + 5)^{\frac{3}{4}}}.
\)

Для возрастания функции необходимо:
\(
(11 — x)^{\frac{3}{4}} — (x + 5)^{\frac{3}{4}} \geq 0,
\)
что эквивалентно
\(
11 — x \geq x + 5,
\)
откуда
\(
2x \leq 6 — x \leq 3.
\)

Проверим функцию на концах области определения:
\(
x \in [-5, 11],
\)
так как
\(
11 — x \geq 0 — x \leq 11,
\)
\(
x + 5 \geq 0 — x \geq -5.
\)

Вычислим значения функции в концах:
\(
f(-5) = \sqrt[4]{11 — (-5)} + \sqrt[4]{-5 + 5} = \sqrt[4]{16} + \sqrt[4]{0} = 2 + 0 = 2,
\)
\(
f(11) = \sqrt[4]{11 — 11} + \sqrt[4]{11 + 5} = \sqrt[4]{0} + \sqrt[4]{16} = 0 + 2 = 2.
\)

Таким образом, минимум функции равен 2, и неравенство
\(
f(x) \geq 2
\)
выполнено на всей области определения
\(
x \in [-5, 11].
\)

3)
Рассмотрим неравенство
\(
3x^5 + \sqrt[3]{3x^3 + 4x + 1} < 5.
\)

Перепишем его как
\(
\sqrt[3]{3x^3 + 4x + 1} < 5 — 3x^5.
\)

Рассмотрим функции
\(
f(x) = \sqrt[3]{3x^3 + 4x + 1},
\)
\(
g(x) = 5 — 3x^5.
\)

Найдём производную \(f(x)\):
\(
f'(x) = \frac{1}{3} (3x^3 + 4x + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (9x^2 + 4) = \frac{9x^2 + 4}{3 (3x^3 + 4x + 1)^{\frac{2}{3}}}.
\)

Поскольку \(9x^2 + 4 > 0\) и знаменатель положителен, то
\(
f'(x) > 0,
\)
то есть \(f(x)\) — функция возрастающая.

Найдём производную \(g(x)\):
\(
g'(x) = -15 x^4 \leq 0,
\)
то есть \(g(x)\) — убывающая функция.

Рассмотрим точку пересечения функций:
\(
f(1) = \sqrt[3]{3 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1 + 1} = \sqrt[3]{3 + 4 + 1} = \sqrt[3]{8} = 2,
\)
\(
g(1) = 5 — 3 \cdot 1^5 = 5 — 3 = 2.
\)

Так как \(f(x)\) возрастает, а \(g(x)\) убывает, то неравенство
\(
f(x) < g(x)
\)
выполнено при
\(
x < 1.
\)

Ответ:
\(
(-\infty, 1).
\)

4)
Рассмотрим неравенство
\(
(\sqrt{x + 2} + 1) \log_4 (x^2 + 4x + 20) \geq 2.
\)

Область определения:
\(
x + 2 \geq 0 — x \geq -2,
\)
\(
x^2 + 4x + 20 > 0 \quad \text{(квадратный трёхчлен положителен при всех } x).
\)

Рассмотрим первый множитель:
\(
\sqrt{x + 2} + 1 \geq 1,
\)
что верно при любом \(x \geq -2\).

Второй множитель:
\(
\log_4 (x^2 + 4x + 20) \geq \frac{2}{\sqrt{x + 2} + 1}.
\)

Для упрощения рассмотрим границу:
\(
(\sqrt{x + 2} + 1) \log_4 (x^2 + 4x + 20) = 2.
\)

Рассмотрим минимум второго множителя. Найдём вершину параболы:
\(
x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2,
\)
\(
y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 20 = 4 — 8 + 20 = 16.
\)

Тогда
\(
x^2 + 4x + 20 \geq 16,
\)
что эквивалентно
\(
\log_4 (x^2 + 4x + 20) \geq \log_4 16 = 2.
\)

Так как первый множитель всегда больше или равен 1, то неравенство
\(
(\sqrt{x + 2} + 1) \log_4 (x^2 + 4x + 20) \geq 2
\)
выполнено при
\(
x \geq -2.
\)

Ответ:
\(
[-2, +\infty).
\)

5)
Рассмотрим неравенство
\(
\log_2 (\sqrt{x — 1} + 2) \cdot \log_5 (x^2 + x + 3) \geq 1.
\)

Область определения:
\(
x — 1 \geq 0 — x \geq 1,
\)
\(
x^2 + x + 3 > 0 \quad \text{для всех } x.
\)

Первый множитель:
\(
\sqrt{x — 1} + 2 \geq 2,
\)
что верно при \(x \geq 1\).

Требуем:
\(
\log_2 (\sqrt{x — 1} + 2) \geq a,
\)
где \(a\) — такое число, что
\(
a \cdot \log_5 (x^2 + x + 3) \geq 1.
\)

Рассмотрим отдельно каждое условие.

Из первого множителя:
\(
\log_2 (\sqrt{x — 1} + 2) \geq 1,
\)
что эквивалентно
\(
\sqrt{x — 1} + 2 \geq 2,
\)
то есть
\(
\sqrt{x — 1} \geq 0,
\)
что верно при \(x \geq 1\).

Второй множитель:
\(
\log_5 (x^2 + x + 3) \geq 1,
\)
что эквивалентно
\(
x^2 + x + 3 \geq 5,
\)
или
\(
x^2 + x — 2 \geq 0.
\)

Решим квадратное неравенство:
\(
x^2 + x — 2 = (x + 2)(x — 1) \geq 0.
\)

Знак произведения положителен, если
\(
x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 1.
\)

С учётом области определения \(x \geq 1\), остаётся
\(
x \geq 1.
\)

Итоговый ответ:
\(
[1, +\infty).
\)