ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
(71 — x)^{\frac{1}{6}} + (57 + x)^{\frac{1}{6}} < 4;
\)

2)
\(
(33 — x)^{\frac{1}{6}} + (31 + x)^{\frac{1}{6}} > 2;
\)

3)
\(
2\sqrt{x — 3} + (x^3 + 9x + 10)^{\frac{1}{3}} > 4;
\)

4)
\(
\log_2(\sqrt{x + 3} + 2) \log_3(x^2 + 6x + 18) > 2.
\)

1)
\(
\sqrt[6]{71 — x} + \sqrt[6]{57 + x} \leq 4;
\)

Рассмотрим функцию:
\(
f(x) = \sqrt[6]{71 — x} + \sqrt[6]{57 + x};
\)

\(
f'(x) = -\frac{1}{6} (71 — x)^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{6} (57 + x)^{-\frac{5}{6}};
\)

\(
f'(x) = \frac{(71 — x)^{-\frac{5}{6}} — (57 + x)^{-\frac{5}{6}}}{6} = \frac{(71 — x)^{\frac{5}{6}} — (57 + x)^{\frac{5}{6}}}{6 (71 — x)^{\frac{5}{6}} (57 + x)^{\frac{5}{6}}} \geq 0;
\)

\(
(71 — x)^{\frac{5}{6}} — (57 + x)^{\frac{5}{6}} \geq 0;
\)

\(
71 — x \geq 57 + x;
\)

\(
2x \leq 14;
\)

\(
x \leq 7;
\)

Максимум функции:
\(
f(7) = \sqrt[6]{64} + \sqrt[6]{64} = 2 + 2 = 4;
\)

Область определения:
\(
71 — x \geq 0, \quad 57 + x \geq 0;
\)

\(
x \leq 71, \quad x \geq -57;
\)

Ответ:
\(
[-57; 71].
\)

2)
\(
\sqrt[6]{33 — x} + \sqrt[6]{31 + x} \geq 2;
\)

Рассмотрим функцию:
\(
f(x) = \sqrt[6]{33 — x} + \sqrt[6]{31 + x};
\)

\(
f'(x) = -\frac{1}{6} (33 — x)^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{6} (31 + x)^{-\frac{5}{6}};
\)

\(
f'(x) = \frac{(33 — x)^{-\frac{5}{6}} — (31 + x)^{-\frac{5}{6}}}{6} = \frac{(33 — x)^{\frac{5}{6}} — (31 + x)^{\frac{5}{6}}}{6 (33 — x)^{\frac{5}{6}} (31 + x)^{\frac{5}{6}}} \geq 0;
\)

\(
(33 — x)^{\frac{5}{6}} — (31 + x)^{\frac{5}{6}} \geq 0;
\)

\(
33 — x \geq 31 + x;
\)

\(
2x \leq 2;
\)

\(
x \leq 1;
\)

Минимум функции:
\(
f(33) = \sqrt{6}{31 + 33} = \sqrt{6}{64} = 2;
\)

\(
f(-31) = \sqrt{6}{33 + 31} = \sqrt{6}{64} = 2;
\)

Область определения:
\(
33 — x \geq 0, \quad 31 + x \geq 0;
\)

\(
x \leq 33, \quad x \geq -31;
\)

Ответ:
\(
[-31; 33].
\)

3)
\(
2\sqrt{x — 3} + \sqrt[3]{x^3 + 9x + 10} \geq 4;
\)

\(
\sqrt[3]{x^3 + 9x + 10} \geq 4 — 2\sqrt{x — 3};
\)

Функция возрастает:
\(
f(x) = \sqrt[3]{x^3 + 9x + 10};
\)

\(
f'(x) = \frac{3x^2 + 9}{3 (x^3 + 9x + 10)^{\frac{2}{3}}} \geq 0;
\)

\(
g(x) = 4 — 2\sqrt{x — 3};
\)

\(
g'(x) = 0 — \frac{2}{2\sqrt{x — 3}} = -\frac{1}{\sqrt{x — 3}} \leq 0;
\)

Точка пересечения:
\(
f(3) = \sqrt[3]{27 + 27 + 10} = \sqrt[3]{64} = 4;
\)

\(
g(3) = 4 — 2\sqrt{3 — 3} = 4 — 2 \cdot 0 = 4;
\)

Ответ:
\(
[3; +\infty).
\)

4)
\(
\log_2(\sqrt{x + 3} + 2) \cdot \log_3(x^2 + 6x + 18) \geq 2;
\)

Область определения:
\(
x + 3 \geq 0;
\)

\(
x \geq -3;
\)

Первый множитель:
\(
\sqrt{x + 3} + 2 \geq 2;
\)

\(
\log_2(\sqrt{x + 3} + 2) \geq 1;
\)

Второй множитель:
\(
x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3;
\)

\(
y_0 = 9 — 18 + 18 = 9;
\)

\(
x^2 + 6x + 18 \geq 9;
\)

\(
\log_3(x^2 + 6x + 18) \geq 2;
\)

Ответ:
\(
[-3; +\infty).
\)

1) Рассмотрим неравенство
\(
\sqrt[6]{71 — x} + \sqrt[6]{57 + x} \leq 4.
\)

Определим функцию
\(
f(x) = \sqrt[6]{71 — x} + \sqrt[6]{57 + x}.
\)

Найдём производную функции:
\(
f'(x) = -\frac{1}{6} (71 — x)^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{6} (57 + x)^{-\frac{5}{6}}.
\)

Приведём к общему виду:
\(
f'(x) = \frac{(71 — x)^{-\frac{5}{6}} — (57 + x)^{-\frac{5}{6}}}{6}.
\)

Перепишем в виде с положительными степенями в числителе и знаменателе:
\(
f'(x) = \frac{(71 — x)^{\frac{5}{6}} — (57 + x)^{\frac{5}{6}}}{6 (71 — x)^{\frac{5}{6}} (57 + x)^{\frac{5}{6}}}.
\)

Для того, чтобы производная была неотрицательной, необходимо:
\(
(71 — x)^{\frac{5}{6}} — (57 + x)^{\frac{5}{6}} \geq 0.
\)

Так как степени положительные и одинаковые, неравенство сводится к:
\(
71 — x \geq 57 + x.
\)

Решаем:
\(
71 — 57 \geq x + x,
\)
\(
14 \geq 2x,
\)
\(
x \leq 7.
\)

Максимум функции достигается при \(x = 7\), вычислим:
\(
f(7) = \sqrt[6]{71 — 7} + \sqrt[6]{57 + 7} = \sqrt[6]{64} + \sqrt[6]{64} = 2 + 2 = 4.
\)

Область определения функции задаётся условиями подкоренных выражений:
\(
71 — x \geq 0 — x \leq 71,
\)
\(
57 + x \geq 0 — x \geq -57.
\)

Итог:
\(
x \in [-57; 71].
\)

Поскольку максимум функции равен 4, неравенство \(\leq 4\) выполняется на всей области определения. Ответ:
\(
[-57; 71].
\)

2) Рассмотрим неравенство
\(
\sqrt[6]{33 — x} + \sqrt[6]{31 + x} \geq 2.
\)

Определим функцию
\(
f(x) = \sqrt[6]{33 — x} + \sqrt[6]{31 + x}.
\)

Найдём производную:
\(
f'(x) = -\frac{1}{6} (33 — x)^{-\frac{5}{6}} + \frac{1}{6} (31 + x)^{-\frac{5}{6}}.
\)

Перепишем:
\(
f'(x) = \frac{(33 — x)^{-\frac{5}{6}} — (31 + x)^{-\frac{5}{6}}}{6} = \frac{(33 — x)^{\frac{5}{6}} — (31 + x)^{\frac{5}{6}}}{6 (33 — x)^{\frac{5}{6}} (31 + x)^{\frac{5}{6}}}.
\)

Для возрастания функции:
\(
(33 — x)^{\frac{5}{6}} — (31 + x)^{\frac{5}{6}} \geq 0,
\)
что эквивалентно
\(
33 — x \geq 31 + x,
\)
\(
2x \leq 2,
\)
\(
x \leq 1.
\)

Минимум функции достигается на границах области определения. Найдём значения в концах:
\(
f(33) = \sqrt[6]{31 + 33} = \sqrt[6]{64} = 2,
\)
\(
f(-31) = \sqrt[6]{33 + 31} = \sqrt[6]{64} = 2.
\)

Область определения:
\(
33 — x \geq 0 — x \leq 33,
\)
\(
31 + x \geq 0 — x \geq -31.
\)

Ответ:
\(
[-31; 33].
\)

3) Рассмотрим неравенство
\(
2 \sqrt{x — 3} + \sqrt[3]{x^3 + 9x + 10} \geq 4.
\)

Перепишем:
\(
\sqrt[3]{x^3 + 9x + 10} \geq 4 — 2 \sqrt{x — 3}.
\)

Рассмотрим функции
\(
f(x) = \sqrt[3]{x^3 + 9x + 10},
\)
\(
g(x) = 4 — 2 \sqrt{x — 3}.
\)

Найдём производные:
\(
f'(x) = \frac{3x^2 + 9}{3 (x^3 + 9x + 10)^{\frac{2}{3}}} = \frac{x^2 + 3}{(x^3 + 9x + 10)^{\frac{2}{3}}} \geq 0,
\)
то есть функция \(f(x)\) возрастает.

Для \(g(x)\):
\(
g'(x) = 0 — \frac{2}{2 \sqrt{x — 3}} = -\frac{1}{\sqrt{x — 3}} \leq 0,
\)
функция \(g(x)\) убывает.

Точка пересечения функций:
\(
f(3) = \sqrt[3]{27 + 27 + 10} = \sqrt[3]{64} = 4,
\)
\(
g(3) = 4 — 2 \sqrt{3 — 3} = 4 — 0 = 4.
\)

Поскольку \(f(x)\) возрастает, а \(g(x)\) убывает, при \(x \geq 3\) неравенство выполняется. Ответ:
\(
[3; +\infty).
\)

4) Рассмотрим неравенство
\(
\log_2(\sqrt{x + 3} + 2) \cdot \log_3(x^2 + 6x + 18) \geq 2.
\)

Область определения:
\(
x + 3 \geq 0 — x \geq -3,
\)
так как подкоренное выражение должно быть неотрицательно.

Рассмотрим первый множитель:
\(
\sqrt{x + 3} + 2 \geq 2,
\)
откуда
\(
\log_2(\sqrt{x + 3} + 2) \geq \log_2 2 = 1.
\)

Второй множитель:
Парабола
\(
x^2 + 6x + 18
\)
имеет вершину в точке
\(
x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3,
\)
и значение в вершине
\(
y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 18 = 9 — 18 + 18 = 9.
\)

Неравенство для второго множителя:
\(
x^2 + 6x + 18 \geq 9,
\)
то есть
\(
\log_3(x^2 + 6x + 18) \geq \log_3 9 = 2.
\)

Итоговое решение по области определения и неравенствам:
\(
x \geq -3,
\)
и оба логарифма удовлетворяют условиям.

Ответ:
\(
[-3; +\infty).
\)