ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

1)

\(
|x^2 + 3x| < x + 4
\)

2)

\(
\left|\frac{x + 1}{2x — 1}\right| < 1
\)

3)

\(
x^2 — x — 2 < |5x — 3|
\)

4)

\(
|x^2 + 3x| > 2 — x^2
\)

1) \(|x^2 + 3x| < x + 4;\)
Первое неравенство:
\(
x^2 + 3x < x + 4;
\)
\(
x^2 + 2x — 4 < 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20,
\) тогда:
\(
x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5};
\)
\(
-1 — \sqrt{5} < x < -1 + \sqrt{5}.
\)

Второе неравенство:
\(
x^2 + 3x > -x — 4;
\)
\(
x^2 + 4x + 4 > 0;
\)
\(
(x + 2)^2 > 0;
\)
\(
x \neq -2.
\)

Ответ:
\(
(-1 — \sqrt{5}; -2) \cup (-2; -1 + \sqrt{5}).
\)

2) \(\left|\frac{x + 1}{2x — 1}\right| < 1;\)
Первое неравенство:
\(
\frac{x + 1}{2x — 1} < 1;
\)
\(
x + 1 < 2x — 1;
\)
\(
2x — 1 — x — 1 > 0;
\)
\(
x > 2.
\)

Второе неравенство:
\(
\frac{x + 1}{2x — 1} > -1;
\)
\(
x + 1 > -2x + 1;
\)
\(
3x > 0;
\)
\(
x > 0.
\)

Ответ:
\(
(0; 2).
\)

Второе неравенство:
\(
\frac{x + 1}{2x — 1} > -1;
\)
\(
x + 1 + 2x — 1 > 0;
\)
\(
\frac{3x}{2x — 1} > 0;
\)
\(
x < 0, \, x > \frac{1}{2};
\)

Ответ:
\(
(-\infty; 0) \cup (2; +\infty).
\)

3)

\(
x^2 — x — 2 < |5x — 3|;
\)
Первое неравенство:
\(
5x — 3 > x^2 — x — 2;
\)
\(
x^2 — 6x + 1 < 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 — 4 = 32,
\) тогда:
\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2};
\)
\(
3 — 2\sqrt{2} < x < 3 + 2\sqrt{2}.
\)

Второе неравенство:
\(
5x — 3 < x^2 + x + 2;
\)
\(
x^2 + 4x — 5 < 0.
\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5\) и \(x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;\)
\((x + 5)(x — 1) < 0;\)
\(-5 < x < 1;\)
Ответ: \((-5; 3 + 2\sqrt{2}).\)

4) \(|x^2 + 3x| \geq 2 — x^2;\)

Первое неравенство:
\(x^2 + 3x \geq 2 — x^2;\)
\(2x^2 + 3x — 2 \geq 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2\) и \(x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};\)
\((x + 2)\left(x — \frac{1}{2}\right) \geq 0;\)
\(x \leq -2, \, x \geq \frac{1}{2};\)

Второе неравенство:
\(x^2 + 3x \leq -2 + x^2;\)
\(3x \leq -2;\)
\(x \leq -\frac{2}{3};\)

Ответ:
\((- \infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty).\)

Решим неравенство:

\(
|x^2 + 3x| < x + 4
\)

Для этого рассмотрим два случая.

Первый случай:

\(
x^2 + 3x < x + 4
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x^2 + 3x — x — 4 < 0
\)

Упрощаем:

\(
x^2 + 2x — 4 < 0
\)

Теперь найдем корни квадратного уравнения. Для этого вычислим дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20
\)

Корни уравнения находятся по формуле:

\(
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\)

Подставляем значения \(a = 1\), \(b = 2\), \(D = 20\):

\(
x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}
\)

Таким образом, корни уравнения:

\(
x_1 = -1 — \sqrt{5}, \quad x_2 = -1 + \sqrt{5}
\)

Неравенство \(x^2 + 2x — 4 < 0\) выполняется между корнями, то есть:

\(
-1 — \sqrt{5} < x < -1 + \sqrt{5}
\)

Второй случай:

\(
x^2 + 3x > -x — 4
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x^2 + 3x + x + 4 > 0
\)

Упрощаем:

\(
x^2 + 4x + 4 > 0
\)

Это можно записать как:

\(
(x + 2)^2 > 0
\)

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, следовательно:

\(
(x + 2)^2 > 0
\)

выполняется для всех \(x \neq -2\).

Ответ:

Объединяя оба случая, получаем:

\(
(-1 — \sqrt{5}; -2) \cup (-2; -1 + \sqrt{5})
\)

Неравенство 1:

\(
\left|\frac{x + 1}{2x — 1}\right| < 1
\)

Первое неравенство:

\(
\frac{x + 1}{2x — 1} < 1
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x + 1 < 2x — 1
\)

Упрощаем:

\(
x + 1 — 2x + 1 < 0
\)

Это дает:

\(
— x + 2 < 0
\)

Следовательно:

\(
x > 2
\)

Второе неравенство:

\(
\frac{x + 1}{2x — 1} > -1
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x + 1 > -2x + 1
\)

Упрощаем:

\(
x + 2x > 1 — 1
\)

Это дает:

\(
3x > 0
\)

Следовательно:

\(
x > 0
\)

Объединение результатов:

Теперь мы имеем два условия: \(x > 2\) и \(x > 0\). Условие \(x > 2\) является более строгим, поэтому окончательный ответ для первого неравенства:

\(
(2; +\infty)
\)

Неравенство 2:

Теперь рассмотрим второе неравенство:

Второе неравенство:

\(
\frac{x + 1}{2x — 1} > -1
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x + 1 + 2x — 1 > 0
\)

Упрощаем:

\(
3x > 0
\)

Следовательно:

\(
x > 0
\)

Теперь рассмотрим, при каких значениях \(x\) выражение \(\frac{3x}{2x — 1}\) положительно. Для этого нужно решить два условия: \(3x > 0\) и \(2x — 1 > 0\).

Первое условие:

\(
3x > 0 — x > 0
\)

Второе условие:

\(
2x — 1 > 0 — x > \frac{1}{2}
\)

Таким образом, объединяя оба условия, получаем:

\(
x > \frac{1}{2}
\)

Теперь у нас есть два интервала: \( (-\infty; 0) \) и \( (2; +\infty) \).

Неравенство 3:

Теперь рассмотрим третье неравенство:

\(
x^2 — x — 2 < |5x — 3|
\)

Первое неравенство:

Рассмотрим случай, когда \(5x — 3 \geq 0\):

\(
5x — 3 > x^2 — x — 2
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x^2 — 6x + 1 < 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 — 4 = 32
\)

Находим корни:

\(
x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}
\)

Таким образом, неравенство выполняется на интервале:

\(
3 — 2\sqrt{2} < x < 3 + 2\sqrt{2}
\)

Второе неравенство:

Теперь рассмотрим случай, когда \(5x — 3 < 0\):

\(
5x — 3 < x^2 + x + 2
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x^2 + 4x — 5 < 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
\)

Находим корни:

\(
x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1
\)

Неравенство выполняется на интервале:

\(
-5 < x < 1
\)

Объединение результатов для третьего неравенства:

Теперь объединяем результаты из двух случаев. Мы имеем:

1. \(3 — 2\sqrt{2} < x < 3 + 2\sqrt{2}\)
2. \(-5 < x < 1\)

Объединяя эти интервалы, получаем окончательный ответ для третьего неравенства:

\(
(-5; 3 + 2\sqrt{2})
\)

Рассмотрим неравенство:

\(
|x^2 + 3x| \geq 2 — x^2
\)

Первое неравенство:

Рассмотрим случай, когда \(x^2 + 3x \geq 0\):

\(
x^2 + 3x \geq 2 — x^2
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x^2 + 3x + x^2 — 2 \geq 0
\)

Упрощаем:

\(
2x^2 + 3x — 2 \geq 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25
\)

Находим корни:

\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2
\)

\(
x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\)

Теперь мы можем разложить квадратный трёхчлен:

\(
(2x + 1)(x — 2) \geq 0
\)

Анализируем знак произведения. Неравенство выполняется, когда:

\(
x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1}{2}
\)

Второе неравенство:

Теперь рассмотрим случай, когда \(x^2 + 3x < 0\):

\(
x^2 + 3x \leq — (2 — x^2)
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x^2 + 3x + 2 — x^2 \leq 0
\)

Упрощаем:

\(
3x + 2 \leq 0
\)

Решаем неравенство:

\(
3x \leq -2
\)

Следовательно:

\(
x \leq -\frac{2}{3}
\)

Объединение результатов:

Теперь объединим результаты из обоих случаев:

1. Из первого неравенства: \(x \leq -2\) или \(x \geq \frac{1}{2}\)
2. Из второго неравенства: \(x \leq -\frac{2}{3}\)

Окончательный ответ будет:

\(
(-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)
\)