Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство
1)
\(
|4x^2 — 1| < x + 2
\)
2)
\(
\left|\frac{3x + 1}{x — 5}\right| > 1
\)
3)
\(
|x^2 — 3x| > x + 5
\)
1) \(|4x^2 — 1| < x + 2;\)
Первое неравенство:
\(
4x^2 — 1 < x + 2;
\)
\(
4x^2 — x — 3 < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = 1;
\)
\(
\left(x + \frac{3}{4}\right)(x — 1) < 0;
\)
\(
-\frac{3}{4} < x < 1.
\)
Второе неравенство:
\(
4x^2 — 1 > -x — 2;
\)
\(
4x^2 + x + 1 > 0;
\)
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 — 16 = -15;
\)
\(
D < 0 \text{ и } a > 0, \text{ значит } x \in \mathbb{R}.
\)
Ответ:
\(
\left(-\frac{3}{4}; 1\right).
\)
2) \(
\left|\frac{3x + 1}{x — 5}\right| \geq 1;
\)
Первое неравенство:
\(
\frac{3x + 1}{x — 5} \geq 1;
\)
\(
\frac{3x + 1}{x — 5} — 1 \geq 0;
\)
\(
\frac{3x + 1 — (x — 5)}{x — 5} \geq 0;
\)
\(
\frac{2x + 6}{x — 5} \geq 0.
\)
2)
\(
\frac{2x + 6}{x — 5} \geq 0;
\)
\(
x \leq -3, \quad x > 5;
\)
Второе неравенство:
\(
\frac{3x + 1}{x — 5} \leq -1;
\)
\(
\frac{3x + 1 + x — 5}{x — 5} \leq 0;
\)
\(
\frac{4x — 4}{x — 5} \leq 0;
\)
\(
1 \leq x < 5;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -3] \cup [1; 5) \cup (5; +\infty).
\)
3)
\(
|x^2 — 3x| \geq x + 5;
\)
Первое неравенство:
\(
x^2 — 3x \geq x + 5;
\)
\(
x^2 — 4x — 5 \geq 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)
\(
(x + 1)(x — 5) \geq 0;
\)
\(
x \leq -1, \quad x \geq 5;
\)
Второе неравенство:
\(
x^2 — 3x \leq -x — 5;
\)
\(
x^2 + 2x + 5 \leq 0;
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -18;
\)
\(
D < 0 \text{ и } a > 0, \text{ значит решений нет.}
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -1] \cup [5; +\infty).
\)
1) Решить неравенство \(|4x^2 — 1| < x + 2\)
Первое неравенство:
Рассмотрим случай, когда \(4x^2 — 1 < x + 2\). Переносим все в одну сторону:
\(
4x^2 — x — 3 < 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 — 7}{8} = -\frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = 1
\)
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
\(
(4x^2 — x — 3) = 4(x + \frac{3}{4})(x — 1)
\)
Исследуем знак выражения:
\(
-\frac{3}{4} < x < 1
\)
Второе неравенство:
Рассмотрим случай, когда \(4x^2 — 1 > -x — 2\). Переносим все в одну сторону:
\(
4x^2 + x + 1 > 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 — 16 = -15
\)
Так как \(D < 0\) и старший коэффициент \(a = 4 > 0\), то квадратный трёхчлен положителен на всей числовой прямой:
\(
x \in \mathbb{R}
\)
Ответ:
Объединяя результаты двух случаев, получаем:
\(
x \in (-\frac{3}{4}; 1)
\)
2) Решить неравенство \(\left|\frac{3x + 1}{x — 5}\right| \geq 1\)
Первое неравенство:
Рассмотрим случай, когда:
\(
\frac{3x + 1}{x — 5} \geq 1
\)
Переносим единицу влево, приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{3x + 1}{x — 5} — 1 \geq 0
\)
\(
\frac{3x + 1 — (x — 5)}{x — 5} \geq 0
\)
\(
\frac{2x + 6}{x — 5} \geq 0
\)
Исследуем знак дроби. Числитель \(2x + 6 = 2(x + 3)\), знаменатель \(x — 5\). Уравнения \(x = -3\) и \(x = 5\) делят числовую прямую на интервалы:
\(
x \leq -3, \quad x > 5
\)
Второе неравенство:
Рассмотрим случай, когда:
\(
\frac{3x + 1}{x — 5} \leq -1
\)
Переносим \(-1\) влево, приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{3x + 1}{x — 5} + 1 \leq 0
\)
\(
\frac{3x + 1 + (x — 5)}{x — 5} \leq 0
\)
\(
\frac{4x — 4}{x — 5} \leq 0
\)
Числитель \(4x — 4 = 4(x — 1)\), знаменатель \(x — 5\). Уравнения \(x = 1\) и \(x = 5\) делят числовую прямую на интервалы:
\(
1 \leq x < 5
\)
Ответ:
Объединяя результаты двух случаев, получаем:
\(
x \in (-\infty; -3] \cup [1; 5) \cup (5; +\infty)
\)
3) Решить неравенство \(|x^2 — 3x| \geq x + 5\)
Первое неравенство:
Рассмотрим случай, когда:
\(
x^2 — 3x \geq x + 5
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 — 4x — 5 \geq 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5
\)
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
\(
(x^2 — 4x — 5) = (x + 1)(x — 5)
\)
Исследуем знак выражения:
\(
x \leq -1, \quad x \geq 5
\)
Второе неравенство:
Рассмотрим случай, когда:
\(
x^2 — 3x \leq -x — 5
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 + 2x + 5 \leq 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -18
\)
Так как \(D < 0\) и старший коэффициент \(a = 1 > 0\), то квадратный трёхчлен положителен на всей числовой прямой:
\(
x \in \emptyset
\)
Ответ:
Объединяя результаты двух случаев, получаем:
\(
x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.