Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство
1) \(\sqrt{2x^2 + 5x — 6} > \sqrt{-x — 3}\)
2) \(\sqrt{x + 2} > \sqrt{8 — x^2}\)
3) \(\sqrt{2x^2 + 6x + 3} > \sqrt{-x^2 — 4x}\)
4) \(\sqrt{\frac{8 — x}{x — 10}} < \sqrt{\frac{2}{2 — x}}\)
1) \(\sqrt{2x^2 + 5x — 6} > \sqrt{-x — 3}\)
Первое неравенство:
\(
2x^2 + 5x — 6 > -x — 3
\)
\(
2x^2 + 6x — 3 > 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 + 24 = 60
\)
Корни:
\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}
\)
Решение:
\(
x < \frac{-3 — \sqrt{15}}{2}, \quad x > \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}
\)
Второе неравенство:
\(
-x — 3 \geq 0
\)
\(
x \leq -3
\)
Ответ:
\(
x \in (-\infty; \frac{-3 — \sqrt{15}}{2})
\)
2) \(\sqrt{x + 2} > \sqrt{8 — x^2}\)
Первое неравенство:
\(
x + 2 > 8 — x^2
\)
\(
x^2 + x — 6 > 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25
\)
Корни:
\(
x_1 = -3, \quad x_2 = 2
\)
Решение:
\(
(x + 3)(x — 2) > 0
\)
\(
x < -3, \quad x > 2
\)
Второе неравенство:
\(
8 — x^2 \geq 0
\)
\(
x^2 — 8 \leq 0
\)
\(
(x + 2\sqrt{2})(x — 2\sqrt{2}) \leq 0
\)
\(
-2\sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2}
\)
Ответ: \((2; 2\sqrt{2})\).
Задача 3) \(\sqrt{2x^2 + 6x + 3} \geq \sqrt{-x^2 — 4x}\)
Первое неравенство:
\(
2x^2 + 6x + 3 \geq -x^2 — 4x
\)
\(
3x^2 + 10x + 3 \geq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = -3, \quad x_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}
\)
Решение:
\(
(x + 3)(x + \frac{1}{3}) \geq 0
\)
\(
x \leq -3, \quad x \geq -\frac{1}{3}
\)
Второе неравенство:
\(
-x^2 — 4x \geq 0
\)
\(
x^2 + 4x \leq 0
\)
\(
x(x + 4) \leq 0
\)
\(
-4 \leq x \leq 0
\)
Ответ: \((-4; -3] \cup [-\frac{1}{3}; 0)\).
Задача 4) \(\frac{\sqrt{8 — x}}{\sqrt{x — 10}} \leq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 — x}}\)
Первое неравенство:
\(
\frac{8 — x}{x — 10} \leq \frac{2}{2 — x}
\)
\(
\frac{(8 — x)(2 — x) — 2(x — 10)}{(x — 10)(2 — x)} \leq 0
\)
\(
\frac{16 — 8x — 2x + x^2 — 2x + 20}{(x — 10)(2 — x)} \geq 0
\)
\(
\frac{x^2 — 12x + 36}{(x — 10)(x — 2)} \geq 0
\)
\(
\frac{(x — 6)^2}{(x — 10)(x — 2)} \geq 0
\)
Решение:
\(
x < 2, \quad x > 10, \quad x = 6
\)
Второе неравенство:
\(
\frac{8 — x}{x — 10} \geq 0
\)
\(
8 — x \geq 0
\)
\(
x \leq 10
\)
Ответ: решений нет.
1) Рассмотрим неравенство:
\(
\sqrt{2x^2 + 5x — 6} > \sqrt{-x — 3}
\)
Первое неравенство:
\(
2x^2 + 5x — 6 > -x — 3
\)
Переносим все в левую часть:
\(
2x^2 + 5x + x — 6 + 3 > 0
\)
Упрощаем:
\(
2x^2 + 6x — 3 > 0
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60
\)
Находим корни квадратного уравнения:
\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}
\)
Обозначим корни как \(x_1\) и \(x_2\):
\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{15}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}
\)
Теперь определим, где неравенство выполняется. Неравенство \(2x^2 + 6x — 3 > 0\) будет выполняться вне интервалов, заданных корнями. Таким образом, решение будет в интервалах:
\(
x < x_1 \quad \text{или} \quad x > x_2
\)
Таким образом, решение первого неравенства:
\(
x < \frac{-3 — \sqrt{15}}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}
\)
Теперь рассмотрим второе неравенство:
\(
-x — 3 \geq 0
\)
Переносим \(3\) в правую часть:
\(
-x \geq 3
\)
Умножаем обе стороны на \(-1\) (не забываем изменить знак неравенства):
\(
x \leq -3
\)
Теперь мы имеем два условия для решения. Объединим их:
1. \(x < \frac{-3 — \sqrt{15}}{2}\)
2. \(x > \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}\)
И второе неравенство:
\(
x \leq -3
\)
Теперь найдем, какие из этих условий пересекаются.
Ответ для первого неравенства будет:
\(
x \in (-\infty; \frac{-3 — \sqrt{15}}{2})
\)
Теперь перейдем ко второму неравенству:
Рассмотрим неравенство:
\(
\sqrt{x + 2} > \sqrt{8 — x^2}
\)
Первое неравенство:
\(
x + 2 > 8 — x^2
\)
Переносим все в левую часть:
\(
x^2 + x — 6 > 0
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)
Находим корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = -3, \quad x_2 = 2
\)
Решение неравенства \( (x + 3)(x — 2) > 0 \) будет выполняться для:
\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2
\)
Теперь рассмотрим второе неравенство:
\(
8 — x^2 \geq 0
\)
Переписываем его:
\(
x^2 — 8 \leq 0
\)
Факторизуем:
\(
(x + 2\sqrt{2})(x — 2\sqrt{2}) \leq 0
\)
Решение этого неравенства будет:
\(
-2\sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2}
\)
Теперь объединим решения двух неравенств. Пересечение интервалов даст нам окончательный ответ.
Ответ для второго неравенства будет:
\(
(2; 2\sqrt{2}]
\)
Задача 3) Рассмотрим неравенство:
\(
\sqrt{2x^2 + 6x + 3} \geq \sqrt{-x^2 — 4x}
\)
Первое неравенство можно записать как:
\(
2x^2 + 6x + 3 \geq -x^2 — 4x
\)
Переносим все в левую часть:
\(
2x^2 + 6x + 3 + x^2 + 4x \geq 0
\)
Упрощаем:
\(
3x^2 + 10x + 3 \geq 0
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64
\)
Находим корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = -3, \quad x_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}
\)
Теперь определим, где неравенство выполняется. Неравенство \(3x^2 + 10x + 3 \geq 0\) будет выполняться вне интервалов, заданных корнями. Таким образом, решение будет в интервалах:
\(
x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq -\frac{1}{3}
\)
Теперь рассмотрим второе неравенство:
\(
-x^2 — 4x \geq 0
\)
Переписываем его как:
\(
x^2 + 4x \leq 0
\)
Факторизуем:
\(
x(x + 4) \leq 0
\)
Теперь определим, где это неравенство выполняется. Оно будет выполняться на интервале:
\(
-4 \leq x \leq 0
\)
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Первое неравенство дает:
\(
(-\infty; -3] \cup [-\frac{1}{3}; +\infty)
\)
Второе неравенство дает:
\(
[-4; 0]
\)
Пересечение этих двух множеств:
1. Для интервала \( (-\infty; -3] \) и \( [-4; 0] \) пересечение будет:
\(
[-4; -3]
\)
2. Для интервала \( [-\frac{1}{3}; +\infty) \) и \( [-4; 0] \) пересечение не дает решений, так как \( -\frac{1}{3} > -4 \).
Таким образом, общее решение для задачи 3):
\( [-\frac{1}{3}; 0) \) и \( [-4; -3] \)
Задача 4) Рассмотрим неравенство:
\(
\frac{\sqrt{8 — x}}{\sqrt{x — 10}} \leq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 — x}}
\)
Первое неравенство можно записать как:
\(
\frac{8 — x}{x — 10} \leq \frac{2}{2 — x}
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
\frac{(8 — x)(2 — x) — 2(x — 10)}{(x — 10)(2 — x)} \leq 0
\)
Раскроем скобки в числителе:
\(
(8 — x)(2 — x) = 16 — 8x — 2x + x^2 = x^2 — 10x + 16
\)
Итак, числитель равен:
\(
x^2 — 10x + 16 — (2x — 20) = x^2 — 12x + 36
\)
Теперь неравенство принимает вид:
\(
\frac{x^2 — 12x + 36}{(x — 10)(2 — x)} \leq 0
\)
Факторизуем числитель:
\(
x^2 — 12x + 36 = (x — 6)^2
\)
Таким образом, неравенство можно записать как:
\(
\frac{(x — 6)^2}{(x — 10)(x — 2)} \leq 0
\)
Решение этого неравенства будет зависеть от знаков числителя и знаменателя. Числитель всегда неотрицателен, так как это квадрат. Значит, мы должны определить, когда знаменатель меньше нуля.
Знаменатель меняет знак в точках \(x = 10\) и \(x = 2\). Определим интервалы:
1. Для \(x < 2\): знаменатель положителен.
2. Для \(2 < x < 10\): знаменатель отрицателен.
3. Для \(x > 10\): знаменатель положителен.
Таким образом, решение будет в интервале:
1. \( (2, 10) \)
Теперь рассмотрим второе неравенство:
\(
\frac{8 — x}{x — 10} \geq 0
\)
Здесь мы имеем:
1. \(8 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 8\)
2. \(x — 10 > 0 \Rightarrow x > 10\)
Таким образом, это неравенство не имеет решений, так как одновременно \(x > 10\) и \(x \leq 8\) невозможно.
Следовательно, итоговое решение для задачи 4):
Решений нет.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.