Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенства:
1) \(\sqrt{x^2 — 7x + 5} > \sqrt{3x — 4}\)
2) \(\sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 — x^2 + 4x}\)
3) \(\sqrt{\frac{2x — 3}{4x — 1}} > \sqrt{\frac{x — 2}{x + 2}}\)
4) \(\sqrt{3 — x} > \sqrt{\frac{1}{2 — x}}\)
1) \(\sqrt{x^2 — 7x + 5} \geq \sqrt{3x — 4}\)
Первое неравенство:
\(
x^2 — 7x + 5 \geq 3x — 4
\)
\(
x^2 — 10x + 9 \geq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9
\)
Разложение:
\(
(x — 1)(x — 9) \geq 0
\)
Решение:
\(
x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 9
\)
Второе неравенство:
\(
3x — 4 \geq 0
\)
\(
x \geq \frac{4}{3}
\)
Ответ: \([9; +\infty)\)
2) \(\sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 — x^2 + 4x}\)
Первое неравенство:
\(
x^2 + 5x < 1 — x^2 + 4x
\)
\(
2x^2 + x — 1 < 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}
\)
Разложение:
\(
(x + 2)(x — \frac{1}{2}) < 0
\)
Решение:
\(
-2 < x < \frac{1}{2}
\)
Второе неравенство:
\(
x^2 + 5x \geq 0;
\)
\(
x(x + 5) \geq 0;
\)
\(
x \leq -5, \quad x \geq 0;
\)
Ответ: \([0; \frac{1}{2})\)
3)
\(
\frac{\sqrt{2x — 3}}{\sqrt{4x — 1}} \geq \frac{\sqrt{x — 2}}{\sqrt{x + 2}};
\)
Первое неравенство:
\(
\frac{2x — 3}{4x — 1} \geq \frac{x — 2}{x + 2};
\)
\(
\frac{(2x — 3)(x + 2) — (x — 2)(4x — 1)}{(4x — 1)(x + 2)} \geq 0;
\)
\(
\frac{2x^2 + 4x — 3x — 6 — 4x^2 + x + 8x — 2}{(4x — 1)(x + 2)} \geq 0;
\)
\(
\frac{-2x^2 + 10x — 8}{(4x — 1)(x + 2)} \geq 0;
\)
\(
\frac{x^2 — 5x + 4}{(4x — 1)(x + 2)} \leq 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)
\(
\frac{(x — 1)(x — 4)}{(4x — 1)(x + 2)} \leq 0;
\)
Решение:
\(
x \in (-2; 1] \cup [4; +\infty).
\)
Второе неравенство:
\(
\frac{x — 2}{x + 2} \geq 0;
\)
\(
x < -2, \quad x \geq 2;
\)
Ответ: \([2; 4]\).
4)
\(
\sqrt{3 — x} \geq \sqrt{\frac{1}{2 — x}};
\)
Первое неравенство:
\(
3 — x \geq \frac{1}{2 — x};
\)
\(
\frac{(3 — x)(2 — x) — 1}{2 — x} \geq 0;
\)
\(
\frac{6 — 3x — 2x + x^2 — 1}{2 — x} \geq 0;
\)
\(
\frac{x^2 — 5x + 5}{2 — x} \leq 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 5 = 25 — 20 = 5,
\)
тогда:
\(
x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2};
\)
\(
x \leq \frac{5 — \sqrt{5}}{2}, \quad 2 < x \leq \frac{5 + \sqrt{5}}{2}.
\)
Второе неравенство:
\(
\frac{1}{2 — x} \geq 0;
\)
\(
x < 2;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; \frac{5 — \sqrt{5}}{2}).
\)
1) \(\sqrt{x^2 — 7x + 5} \geq \sqrt{3x — 4}\)
Первое неравенство:
\(
x^2 — 7x + 5 \geq 3x — 4
\)
Преобразуем его:
\(
x^2 — 7x + 5 — 3x + 4 \geq 0
\)
\(
x^2 — 10x + 9 \geq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9
\)
Разложение:
\(
(x — 1)(x — 9) \geq 0
\)
Решение:
По знакам:
— \(x \leq 1\) или \(x \geq 9\)
Второе неравенство:
\(
3x — 4 \geq 0
\)
Преобразуем его:
\(
3x \geq 4 — x \geq \frac{4}{3}
\)
Ответ:
\(
[9; +\infty)
\)
2) \(\sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 — x^2 + 4x}\)
Первое неравенство:
\(
x^2 + 5x < 1 — x^2 + 4x
\)
Преобразуем его:
\(
x^2 + 5x + x^2 — 4x — 1 < 0
\)
\(
2x^2 + x — 1 < 0
\)
Дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}
\)
Разложение:
\(
(x + 2)(x — \frac{1}{2}) < 0
\)
Решение:
По знакам:
\(
-2 < x < \frac{1}{2}
\)
Второе неравенство:
\(
x^2 + 5x \geq 0
\)
Разложим его:
\(
x(x + 5) \geq 0
\)
Решение:
По знакам:
\(
x \leq -5, \quad x \geq 0
\)
Ответ:
\(
[0; \frac{1}{2})
\)
3)
\(
\frac{\sqrt{2x — 3}}{\sqrt{4x — 1}} \geq \frac{\sqrt{x — 2}}{\sqrt{x + 2}}
\)
Первое неравенство:
Умножим обе стороны на \(\sqrt{(4x — 1)(x + 2)}\):
\(
(2x — 3)(x + 2) \geq (x — 2)(4x — 1)
\)
Преобразуем его:
\(
(2x^2 + 4x — 3x — 6) — (4x^2 — x + 8x — 2) \geq 0
\)
Соберём все члены в одну сторону:
\(
-2x^2 + 10x — 8 \geq 0
\)
Разделим на -1 (изменяя знак неравенства):
\(
2x^2 — 10x + 8 \leq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 8 = 100 — 64 = 36
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{10 — 6}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{10 + 6}{4} = 4
\)
Разложение:
\(
(x — 1)(x — 4) \leq 0
\)
Решение:
По знакам:
\(
x \in (-2; 1] \cup [4; +\infty)
\)
Второе неравенство:
\(
\frac{x — 2}{x + 2} \geq 0
\)
Решение:
По знакам:
\(
x < -2, \quad x \geq 2
\)
Ответ:
\(
[2; 4]
\)
4)
\(
\sqrt{3 — x} \geq \sqrt{\frac{1}{2 — x}}
\)
Первое неравенство:
Умножим обе стороны на \(\sqrt{(2-x)}\):
\(
(3-x)(2-x) \geq 1
\)
Преобразуем его:
\(
6 -3x -2x + x^2 -1 \geq 0
\)
Соберём все члены в одну сторону:
\(
x^2 -5x +5 \leq 0
\)
Дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 -20 =5
\)
Корни:
\(
x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}
\)
Решение:
По знакам:
\(
x \leq \frac{5 — \sqrt{5}}{2}, \quad x > 2, x < \frac{5 + \sqrt{5}}{2}
\)
Второе неравенство:
\(
\frac{1}{2-x} \geq0
\)
Решение:
По знакам:
\(
x < 2
\)
Ответ:
\(
(-\infty; \frac{5 — \sqrt{5}}{2}]
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.