ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенства:

1) \(x + 4 > 2\sqrt{4 — x^2};\)

2) \(\sqrt{x^2 — 3x — 18} < 4 — x;\)

3) \(\sqrt{(x — 3)(2 — x)} < 3 + 2x;\)

1) \(x + 4 > 2\sqrt{4 — x^2};\)

Первое неравенство:
\(
x^2 + 8x + 16 > 4(4 — x^2);
\)
\(
x^2 + 8x + 16 > 16 — 4x^2;
\)
\(
5x^2 + 8x > 0;
\)
\(
x(5x + 8) > 0;
\)
\(
x < -\frac{8}{5}, \quad x > 0.
\)

Второе неравенство:
\(
4 — x^2 \geq 0, \quad x + 4 > 0;
\)
\(
x^2 — 4 \leq 0;
\)
\(
(x + 2)(x — 2) \leq 0;
\)
\(
-2 \leq x \leq 2, \quad x > -4.
\)

Ответ:
\(
[-2; -\frac{8}{5}) \cup (0; 2].
\)

2) \(\sqrt{x^2 — 3x — 18} \leq 4 — x;\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 3x — 18 \leq 16 — 8x + x^2;
\)
\(
5x \leq 34;
\)
\(
x \leq 6,8.
\)

Второе неравенство:
\(
x^2 — 3x — 18 \geq 0, \quad 4 — x \geq 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6;
\)
\(
(x + 3)(x — 6) \geq 0;
\)
\(
x \leq -3, \quad x \geq 6, \quad x \leq 4;
\)
\(
x \leq -3.
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -3].
\)

3) \(\sqrt{(x — 3)(2 — x)} < 3 + 2x;\)

Первое неравенство:
\(
2x — x^2 — 6 + 3x < 9 + 12x + 4x^2; \) \( 5x^2 + 7x + 15 > 0;
\)
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 5 \cdot 15 = 49 — 300 = -251;
\)
\(
D < 0 \quad и \quad a > 0, \quad значит \quad x \in \mathbb{R}.
\)

Второе неравенство:
\(
(x — 3)(2 — x) \geq 0, \quad 3 + 2x > 0;
\)
\(
(x — 3)(2 — x) \leq 0, \quad 2x > -3;
\)
\(
2 \leq x \leq 3.
\)

Ответ:
\(
[2; 3].
\)

1) \(x + 4 > 2\sqrt{4 — x^2};\)

Первое неравенство:
\(
x + 4 > 2\sqrt{4 — x^2}
\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\(
(x + 4)^2 > 4(4 — x^2)
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 + 8x + 16 > 16 — 4x^2
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 + 8x + 16 + 4x^2 > 16
\)
Упрощаем:
\(
5x^2 + 8x > 0
\)
Факторизуем:
\(
x(5x + 8) > 0
\)
Решение:
\(
x < -\frac{8}{5}, \quad x > 0
\)

Второе неравенство:
\(
4 — x^2 \geq 0, \quad x + 4 > 0
\)
Решим первое неравенство:
\(
4 — x^2 \geq 0 — x^2 \leq 4
\)
Это дает:
\(
-2 \leq x \leq 2
\)

Решим второе неравенство:
\(
x + 4 > 0 — x > -4
\)

Объединяя условия, получаем:
\(
-2 \leq x \leq 2, \quad x > -4
\)

Таким образом, окончательный ответ:
\(
(-2; -\frac{8}{5}) \cup (0; 2].
\)

2) \(\sqrt{x^2 — 3x — 18} \leq 4 — x;\)

Первое неравенство:
\(
x^2 — 3x — 18 \leq 4 — x
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
x^2 — 3x — 18 — 4 + x \leq 0
\)
Упрощаем:
\(
x^2 — 2x — 22 \leq 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 4 + 88 = 92
\)
Корни:
\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{92}}{2} = 1 \pm \sqrt{23}
\)

Таким образом, решение неравенства:
\(
1 — \sqrt{23} \leq x \leq 1 + \sqrt{23}
\)

Второе неравенство:
\(
x^2 — 3x — 18 \geq 0, \quad 4 — x \geq 0
\)
Первое неравенство решим так же, как и раньше:
Дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6
\)
Факторизуем:
\(
(x + 3)(x — 6) \geq 0
\)
Решение:
\(
x \leq -3, \quad x \geq 6
\)

Также решаем второе неравенство:
\(
4 — x \geq 0 — x \leq 4
\)

Объединяя условия, получаем окончательный ответ:
\(
(-\infty; -3].
\)

3) \(\sqrt{(x — 3)(2 — x)} < 3 + 2x;\) Первое неравенство: \( 3 + 2x > \sqrt{(x — 3)(2 — x)}
\)
Возводим обе стороны в квадрат:
\(
(3 + 2x)^2 > (x — 3)(2 — x)
\)
Раскрываем скобки:
\(
9 + 12x + 4x^2 > (x — 3)(2 — x)
\)
Раскроем правую часть:
\(
9 + 12x + 4x^2 > -x^2 + x + 6
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
5x^2 + 11x + 3 > 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (11)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 3 = 121 — 60 = 61
\)

Так как \(D > 0\), то неравенство выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Второе неравенство:
Решим его так же, как и раньше:
\(
(x — 3)(2 — x) \geq 0
\)

Находим корни: \(x = 3, x = 2.\)

Знак будет меняться на интервалах:
— \( (-\infty, 2) : <0,\)
— \( (2,3) : \geq0,\)
— \( (3, +\infty) : <0.\)

Таким образом, решение второго неравенства:
\(
[2;3].
\)