ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 27.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\sqrt{2x + 4} > x + 3\)

2) \(\sqrt{2x^2 + 5x — 6} > 2 — x\)

3) \(\sqrt{\frac{x^3 + 8}{x}} > x — 2\)

1) \(\sqrt{2x + 4} > x + 3\);

Первое неравенство:
\(
2x + 4 \geq x^2 + 6x + 9, \quad x + 3 \geq 0;
\)
\(
x^2 + 4x + 5 \leq 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 5 = 16 — 20 = -4;
\)
\(
D < 0 \text{ и } a > 0, \text{ значит } x \text{ не имеет решений};
\)

Второе неравенство:
\(
2x + 4 \geq 0, \quad x + 3 < 0;
\)
\(
2x \geq -4;
\)
\(
x \geq -2, \quad x < -3;
\)
\(
x \text{ не имеет решений};
\)

Ответ: решений нет.

2) \(\sqrt{2x^2 + 5x — 6} \geq 2 — x;\)

Первое неравенство:
\(
2x^2 + 5x — 6 \geq 4 — 4x + x^2, \quad 2 — x \geq 0;
\)
\(
x^2 + 9x — 10 \geq 0;
\)
\(
D = 9^2 + 4 \cdot 10 = 81 + 40 = 121, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1;
\)
\(
(x + 10)(x — 1) \geq 0, \quad x \leq 2;
\)
\(
x \leq -10, \quad 1 \leq x \leq 2;
\)

Второе неравенство:

\(
2x^2 + 5x — 6 \geq 0,\quad 2 — x \leq 0;
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 + 48 = 73, \text{ тогда:}
\)
\(
x = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{4};
\)
\(
x \leq \frac{-5 — \sqrt{73}}{4},\quad x \geq \frac{-5 + \sqrt{73}}{4},\quad x \geq 2;
\)
\(
x \geq 2;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -10] \cup [1; +\infty)
\)

3) \(\sqrt{\frac{x^3 + 8}{x}} > x — 2;\)

Первое неравенство:

\(
\frac{x^3 + 8}{x} > x^2 — 4x + 4,\quad x — 2 \geq 0;
\)
\(
x^3 + 8 > x^3 — 4x^2 + 4x,\quad x \geq 2;
\)
\(
4x^2 — 4x + 8 > 0;
\)
\(
x^2 — x + 2 > 0;
\)
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7;
\)
\(
D < 0 \text{ и } a > 0,\text{ значит } x \in \mathbb{R};
\)
\(
x \geq 2;
\)

Второе неравенство:

\(
\frac{x^3 + 8}{x} \geq 0,\quad x — 2 < 0;
\)
\(
x \leq -2,\quad 0 < x < 2;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -2] \cup (0; +\infty)
\)

1) \(\sqrt{2x + 4} > x + 3\)

Первое неравенство:
\(
2x + 4 \geq x^2 + 6x + 9, \quad x + 3 \geq 0
\)
Перепишем его в стандартной форме:
\(
0 \geq x^2 + 4x + 5
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4
\)
Так как \(D < 0\) и \(a > 0\), значит, у данного неравенства нет решений.

Второе неравенство:
\(
2x + 4 \geq 0, \quad x + 3 < 0
\)
Решим первое неравенство:
\(
2x \geq -4 — x \geq -2
\)
Решим второе неравенство:
\(
x < -3
\)
Таким образом, оба условия \(x \geq -2\) и \(x < -3\) не могут одновременно выполняться. Следовательно, у этого неравенства также нет решений.

Ответ: решений нет.

2) \(\sqrt{2x^2 + 5x — 6} \geq 2 — x\)

Первое неравенство:
\(
2x^2 + 5x — 6 \geq 4 — 4x + x^2, \quad 2 — x \geq 0
\)
Упрощаем первое неравенство:
\(
2x^2 + 5x — 6 — (x^2 — 4x + 4) \geq 0
\)
Это приводит к:
\(
x^2 + 9x — 10 \geq 0
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121
\)
Находим корни:
\(
x_1 = \frac{-9 — 11}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1
\)
Неравенство \( (x + 10)(x — 1) \geq 0 \) выполняется при:
\(
x \leq -10 \quad \text{или} \quad x \geq 1
\)
Также учитываем условие \(2 — x \geq 0 — x \leq 2\). Таким образом, получаем:
\(
x \leq -10, \quad 1 \leq x \leq 2
\)

Второе неравенство:
\(
2x^2 + 5x — 6 \geq 0, \quad 2 — x \leq 0
\)
Находим дискриминант для первого неравенства:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 25 + 48 = 73
\)
Находим корни:
\(
x = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{4}
\)
Неравенство \( (x + a)(x + b) \geq 0 \) выполняется при \( x \leq \frac{-5 — \sqrt{73}}{4} \) или \( x \geq \frac{-5 + \sqrt{73}}{4} \). Учитываем также условие \(x \geq 2\).

Ответ:
\(
(-\infty; -10] \cup [1; +\infty)
\)

3) \(\sqrt{\frac{x^3 + 8}{x}} > x — 2\)

Первое неравенство:
\(
\frac{x^3 + 8}{x} > x^2 — 4x + 4, \quad x — 2 \geq 0
\)
Упрощаем первое неравенство:
\(
x^3 + 8 > x^3 — 4x^2 + 4x
\)
Это приводит к:
\(
4x^2 — 4x + 8 > 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 16 — 32 = -16
\)
Так как \(D < 0\) и \(a > 0\), значит, данное неравенство выполняется для всех \(x\):
\(
x \geq 2
\)

Второе неравенство:
\(
\frac{x^3 + 8}{x} \geq 0, \quad x — 2 < 0
\)
Для первого неравенства необходимо, чтобы числитель был положительным или равным нулю, а знаменатель положительным. Поэтому решаем:
1. \(x^3 + 8 \geq 0\) дает \(x \geq -2\).
2. Условие \(x > 0\) (знаменатель должен быть положительным).
3. Условие \(x < 2\).

Таким образом, мы получаем:
\(
(-\infty; -2] \cup (0; +\infty)
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -2] \cup (0; +\infty)
\)