ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.101 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано:

\(
x^2 + \frac{16}{x^2} = 56.
\)

Найдите значение выражения

\(
x + \frac{4}{x}.
\)

Известно, что:
\(
x^2 + \frac{16}{x^2} = 56;
\)

\(
\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{16}{x^2} + 8x \cdot \frac{1}{x};
\)

\(
\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = 56 + 8 = 64;
\)

\(
x + \frac{4}{x} = \pm 8;
\)

Ответ: \(-8; 8\).

Известно, что:

\(
x^2 + \frac{16}{x^2} = 56.
\)

Чтобы найти значение выражения

\(
x + \frac{4}{x},
\)

используем следующую формулу:

\(
\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{16}{x^2} + 2 \cdot 4.
\)

Здесь мы применяем формулу разности квадратов, где \(a = x\) и \(b = \frac{4}{x}\). В данном случае \(2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} = 8\).

Теперь подставим известное значение:

\(
\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 = 56 + 8.
\)

Вычислим сумму:

\(
56 + 8 = 64.
\)

Теперь извлечём квадратный корень из обеих сторон:

\(
x + \frac{4}{x} = \pm 8.
\)

Таким образом, возможные значения выражения:

\(
x + \frac{4}{x} = -8 \quad \text{или} \quad x + \frac{4}{x} = 8.
\)

Ответ:

\(-8; 8.\)