ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.102 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано:

\(
x^2 + \frac{1}{x^2} = 3.
\)

Найдите значение выражения

\(
x — \frac{1}{x}.
\)

Известно, что:
\(
x^2 + \frac{1}{x^2} = 3;
\)

\(
\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} — 2x \cdot \frac{1}{x};
\)

\(
\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = 3 — 2 = 1;
\)

\(
x — \frac{1}{x} = \pm 1;
\)

Ответ: \(-1; 1\).

Известно, что:

\(
x^2 + \frac{1}{x^2} = 3.
\)

Чтобы найти значение выражения

\(
x — \frac{1}{x},
\)

используем следующую формулу:

\(
\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} — 2x \cdot \frac{1}{x}.
\)

Здесь мы применяем формулу разности квадратов, где \(a = x\) и \(b = \frac{1}{x}\). В данном случае \(2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2\).

Теперь подставим известное значение:

\(
\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 = 3 — 2.
\)

Вычислим разность:

\(
3 — 2 = 1.
\)

Теперь извлечём квадратный корень из обеих сторон:

\(
x — \frac{1}{x} = \pm 1.
\)

Таким образом, возможные значения выражения:

\(
x — \frac{1}{x} = -1 \quad \text{или} \quad x — \frac{1}{x} = 1.
\)

Ответ:

\(-1; 1.\)