ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.103 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)

\(
\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 — 25}{a^2 + ab — 5a — 5b};
\)

2)

\(
\frac{a^2 — a + ab — b}{a^2 — a — ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a — ab — b}.
\)

Упростить выражение:

1)
\(
\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 — 25}{a^2 + ab — 5a — 5b} =
\)

\(
= \frac{a(a+b) + 5(a+b)}{(a+b)^2} \cdot \frac{a(a+b) — 5(a+b)}{(a+5)(a-5)} =
\)

\(
= \frac{(a+5)(a+b)(a-5)(a+b)}{(a+b)^2 (a+5)(a-5)} = 1;
\)

2)
\(
\frac{a^2 — a + ab — b}{a^2 — a — ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a — ab — b} =
\)

\(
= \frac{a(a-1) + b(a-1)}{a(a-1) — b(a-1)} \cdot \frac{a(a+1) — b(a+1)}{a(a+1) + b(a+1)} =
\)

\(
= \frac{(a+b)(a-1)(a-b)(a+1)}{(a-b)(a-1)(a+b)(a+1)} = 1;
\)

Упростить выражение:

1)
\(
\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 — 25}{a^2 + ab — 5a — 5b} =
\)

Сначала упростим числитель и знаменатель первого дробного выражения:

Числитель:
\(
a^2 + ab + 5a + 5b = a^2 + ab + 5(a + b) = a(a + b) + 5(a + b) =
\)
\(
= (a + 5)(a + b).
\)

Знаменатель:
\(
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.
\)

Теперь подставим это в первое выражение:
\(
\frac{(a + 5)(a + b)}{(a + b)^2} : \frac{a^2 — 25}{a^2 + ab — 5a — 5b}.
\)

Теперь упростим второе дробное выражение. Числитель:
\(
a^2 — 25 = (a — 5)(a + 5).
\)

Знаменатель:
\(
a^2 + ab — 5a — 5b = a^2 — 5a + ab — 5b = a(a — 5) + b(a — 5) =
\)
\(
= (a — 5)(a + b).
\)

Теперь подставим это во второе выражение:
\(
= \frac{(a + 5)(a + b)}{(a + b)^2} \cdot \frac{(a — 5)(a + 5)}{(a — 5)(a + b)}.
\)

После сокращения получаем:
\(
= \frac{(a + 5)(a + b)(a — 5)(a + b)}{(a + b)^2 (a — 5)(a + 5)} = 1.
\)

Таким образом, результат первого выражения равен \(1\).

2)
\(
\frac{a^2 — a + ab — b}{a^2 — a — ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a — ab — b} =
\)

Начнем с упрощения числителя и знаменателя первого дробного выражения:

Числитель:
\(
a^2 — a + ab — b = a(a — 1) + b(a — 1) = (a — 1)(a + b).
\)

Знаменатель:
\(
a^2 — a — ab + b = a(a — 1) — b(a — 1) = (a — 1)(a — b).
\)

Теперь подставим это в первое выражение:
\(
= \frac{(a — 1)(a + b)}{(a — 1)(a — b)} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a — ab — b}.
\)

Теперь упростим второе дробное выражение. Числитель:
\(
a^2 + a + ab + b = a(a + 1) + b(a + 1) = (a + 1)(a + b).
\)

Знаменатель:
\(
a^2 + a — ab — b = a(a + 1) — b(a + 1) = (a + 1)(a — b).
\)

Теперь подставим это во второе выражение:
\(
= \frac{(a — 1)(a + b)}{(a — 1)(a — b)} \cdot \frac{(a + 1)(a + b)}{(a + 1)(a — b)}.
\)

После сокращения получаем:
\(
= \frac{(a+b)(a-1)(a+b)(a+1)}{(a-b)(a-1)(a+b)(a+1)} = 1.
\)

Таким образом, результат второго выражения также равен \(1\).