ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.104 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)

\(
\frac{2x}{1 — 3y} + \frac{2x}{3y + 1} : \frac{4x^2 + 14x}{9y^2 + 1 — 6y};
\)

2)

\(
\frac{x^3 — y^3}{2y} \left( \frac{2y}{4 — 2y — 2x + xy} + \frac{2xy + 4y}{(x — y)(x^2 — 4)} \right);
\)

3)

\(
\frac{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{a + b} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)}{\frac{(a + b)^2}{ab}};
\)

4)

\(
\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b + c}}{\frac{1}{a} — \frac{1}{b + c}} \left( 1 + \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc} \right).
\)

1)
\(
\left(\frac{2x}{1 — 3y} + \frac{2x}{3y + 1}\right) : \frac{4x^2 + 14x}{9y^2 + 1 — 6y} =
\)

\(
= \frac{2x(3y + 1) + 2x(1 — 3y)}{(1 — 3y)(1 + 3y)} \cdot \frac{1 — 6y + 9y^2}{4x^2 + 14x} =
\)

\(
= \frac{2x \cdot 2}{(1 — 3y)(1 + 3y)} \cdot \frac{(1 — 3y)^2}{2x(2x + 7)} = \frac{2(1 — 3y)}{(1 + 3y)(2x + 7)};
\)

2)
\(
\frac{x^3 — y^3}{2y} \left(\frac{2y}{4 — 2y — 2x + xy} + \frac{2xy + 4y}{(x — y)(x^2 — 4)}\right) =
\)

\(
= \frac{x^3 — y^3}{2y} \left(\frac{2y}{2(2 — y) — x(2 — y)} + \frac{2y(x + 2)}{(x — y)(x — 2)(x + 2)}\right) =
\)

\(
= \frac{x^3 — y^3}{2y} \left(\frac{2y}{(2 — x)(2 — y)} + \frac{2y}{(x — y)(x — 2)}\right) =
\)

\(
= \frac{x^3 — y^3}{2y} \cdot \frac{-2y(x — y) + 2y(2 — y)}{(x — 2)(2 — y)(x — y)} =
\)

\(
= \frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{2y} \cdot \frac{2y(2 — x)}{(x — 2)(2 — y)(x — y)} =
\)

\(
= \frac{x^2 + xy + y^2}{-(2 — y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{y — 2};
\)

3)
\(
\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{a+b} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\right) : \frac{(a+b)^2}{ab} =
\)

\(
= \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{ab}\right) \cdot \frac{ab}{(a+b)^2} =
\)

\(
= \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}\right) \cdot \frac{ab}{(a+b)^2} =
\)

\(
= \frac{b^2 + a^2 + 2ab}{a^2 b^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2 + 2ab} = \frac{1}{ab};
\)

4)
\(
\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} \left(1 + \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\right) =
\)

\(
= \frac{b + c + a}{a(b+c)} \cdot \frac{b + c — a}{a(b+c)} \cdot \frac{2bc + b^2 + c^2 — a^2}{2bc} =
\)

\(
= \frac{b + c + a}{b + c — a} \cdot \frac{(b+c)^2 — a^2}{2bc} =
\)

\(
= \frac{(b+c + a)(b+c — a)(b+c + a)}{(b+c — a) \cdot 2bc} = \frac{(b + c + a)^2}{2bc};
\)

1)
\(
\left(\frac{2x}{1 — 3y} + \frac{2x}{3y + 1}\right) : \frac{4x^2 + 14x}{9y^2 + 1 — 6y} =
\)

Сначала упростим числитель первого дробного выражения:
\(
\frac{2x}{1 — 3y} + \frac{2x}{3y + 1} = \frac{2x(3y + 1) + 2x(1 — 3y)}{(1 — 3y)(3y + 1)}.
\)

Теперь раскроем скобки в числителе:
\(
= \frac{2x(3y + 1) + 2x(1 — 3y)}{(1 — 3y)(3y + 1)} = \frac{2x(3y + 1 + 1 — 3y)}{(1 — 3y)(3y + 1)}.
\)

Упростим числитель:
\(
= \frac{2x(3y — 3y + 1 + 1)}{(1 — 3y)(3y + 1)} = \frac{2x \cdot 2}{(1 — 3y)(3y + 1)} = \frac{4x}{(1 — 3y)(3y + 1)}.
\)

Теперь упростим знаменатель:
\(
\frac{4x^2 + 14x}{9y^2 + 1 — 6y} = \frac{4x(x + \frac{14}{4})}{9y^2 — 6y + 1}.
\)

Знаменатель можно упростить как:
\(
9y^2 — 6y + 1 = (3y — 1)^2.
\)

Теперь подставим это в общее выражение:
\(
= \frac{4x}{(1 — 3y)(3y + 1)} : \frac{4x(x + \frac{14}{4})}{(3y — 1)^2}.
\)

Теперь мы можем переписать это как:
\(
= \frac{4x}{(1 — 3y)(3y + 1)} \cdot \frac{(3y — 1)^2}{4x(x + \frac{14}{4})}.
\)

После сокращения \(4x\) в числителе и знаменателе, получаем:
\(
= \frac{(3y — 1)^2}{(1 — 3y)(3y + 1)(x + \frac{14}{4})}.
\)

Теперь подставим \( (3y — 1)^2 = (1 — 3y)^2 \):
\(
= \frac{(1 — 3y)^2}{(1 — 3y)(3y + 1)(x + \frac{14}{4})}.
\)

После сокращения \( (1 — 3y) \) остается:
\(
= \frac{(1 — 3y)}{(3y + 1)(x + \frac{14}{4})}.
\)

Таким образом, окончательный результат:
\(
= \frac{2(1 — 3y)}{(1 + 3y)(2x + 7)}.
\)

2)
\(
\frac{x^3 — y^3}{2y} \left(\frac{2y}{4 — 2y — 2x + xy} + \frac{2xy + 4y}{(x — y)(x^2 — 4)}\right) =
\)

Сначала упростим первую дробь внутри скобок:
\(
4 — 2y — 2x + xy = (xy — 2x — 2y + 4).
\)

Теперь можно переписать это как:
\(
= \frac{x^3 — y^3}{2y} \left(\frac{2y}{(2 — x)(2 — y)} + \frac{2xy + 4y}{(x — y)(x^2 — 4)}\right).
\)

Теперь упростим вторую дробь. Знаменатель \(x^2 — 4\) можно разложить на множители:
\(
x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2).
\)

Таким образом, вторая дробь становится:
\(
= \frac{2y(x + 2)}{(x — y)(x — 2)(x + 2)}.
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:
\(
= \frac{x^3 — y^3}{2y} \left(\frac{2y}{(2 — x)(2 — y)} + \frac{2y(x + 2)}{(x — y)(x — 2)(x + 2)}\right).
\)

Теперь объединим дроби внутри скобок:
\(
= \frac{x^3 — y^3}{2y} \cdot \frac{2y(x — y) + 2y(2 — y)}{(x — 2)(2 — y)(x — y)}.
\)

Упростим числитель:
\(
= \frac{x^3 — y^3}{2y} \cdot \frac{-2y(x — y) + 2y(2 — y)}{(x — 2)(2 — y)(x — y)}.
\)

Теперь вспомним, что \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\):
\(
= \frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{2y} \cdot \frac{2y(2 — x)}{(x — 2)(2 — y)(x — y)}.
\)

Сократим \(y\) и \(x — y\):
\(
= \frac{x^2 + xy + y^2}{-(2 — y)}.
\)

В итоге получаем:
\(
= \frac{x^2 + xy + y^2}{y — 2}.
\)

3)
\(
\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{a+b} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\right) : \frac{(a+b)^2}{ab} =
\)

Сначала упростим числитель:
\(
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{a+b} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).
\)

Объединим дроби:
\(
= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{a+b} \cdot \left(\frac{b + a}{ab}\right) = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2(a+b)}{ab(a+b)}.
\)

Теперь подставим это в выражение:
\(
= \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}\right) \cdot \frac{ab}{(a+b)^2}.
\)

Теперь упростим:
\(
= \left(\frac{b^2 + a^2 + 2ab}{a^2 b^2}\right) \cdot \frac{ab}{(a+b)^2}.
\)

Числитель можно записать как:
\(
= \frac{(a+b)^2}{a^2 b^2} \cdot \frac{ab}{(a+b)^2}.
\)

Теперь сокращаем:
\(
= \frac{1}{ab}.
\)

4)
\(
\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} \left(1 + \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\right) =
\)

Сначала упростим вторую часть:
\(
= \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} \left(1 + \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\right).
\)

Теперь объединим дроби:
\(
= \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} \cdot \frac{2bc + b^2 + c^2 — a^2}{2bc}.
\)

Теперь упростим первую дробь:
\(
= \frac{b+c + a}{a(b+c)} \cdot \frac{b+c — a}{b+c}.
\)

Теперь подставим это в выражение:
\(
= \frac{b+c + a}{a(b+c)} \cdot \frac{b+c — a}{b+c} \cdot \frac{2bc + b^2 + c^2 — a^2}{2bc}.
\)

Рассмотрим числитель:
\(
= \frac{b+c + a}{b+c — a} \cdot \frac{(b+c)^2 — a^2}{2bc}.
\)

Теперь упростим выражение:
\(
= \frac{(b+c + a)(b+c — a)(b+c + a)}{(b+c — a) \cdot 2bc}.
\)

После сокращения получаем:
\(
= \frac{(b + c + a)^2}{2bc}.
\)