ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.105 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)
\(
\left(\frac{x^2}{x — y} — y\right) \cdot \left(\frac{x + \frac{y^2}{x + y}}{1}\right)^{-1};
\)

2)
\(
\left(\frac{a}{8} + \frac{1}{6a} + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{a + 2}{12a}\right)^{-1} \cdot (3a + 2)^{-1};
\)

3)
\(
\left(\frac{x}{y} — \frac{y}{x}\right) \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} — 2\right)^{-1} \left(\left(1 + \frac{y}{x}\right) \frac{x}{x — y}\right)^{-2};
\)

4)
\(
\left(\frac{x + 9}{x + 7}\right)^{-1} + \left(\frac{x + 7}{x^2 + 81 — 18x} + \frac{x + 5}{x^2 — 81}\right) \left(\frac{x + 3}{x — 9}\right)^{-2}.
\)

1)
\(
\left(\frac{x^2}{x — y} — y\right) \cdot \left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1} =
\)

\(
= \frac{x^2 — y(x — y)}{x — y} \cdot \frac{x + y}{x(x + y) + y^2} =
\)

\(
= \frac{x^2 — xy + y^2}{x — y} \cdot \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3};
\)

2)
\(
\left(\frac{a}{8} + \frac{1}{6a} + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{a + 2}{12a}\right)^{-1} \cdot (3a + 2)^{-1} =
\)

\(
= \frac{18a^2 + 24 + 48a}{144a} \cdot \frac{12a}{a + 2} \cdot \frac{1}{3a + 2} =
\)

\(
= \frac{6(3a + 2)(a + 2)}{12 \cdot (a + 2)(3a + 2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2};
\)

3)
\(
\left(\frac{x}{y} — \frac{y}{x}\right) \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} — 2\right)^{-1} \left(\left(1 + \frac{y}{x}\right) \frac{x}{x — y}\right)^{-2} =
\)

\(
= \frac{x^2 — y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{x^2 + y^2 — 2xy} \cdot \left(\frac{x + y}{x} \cdot \frac{x}{x — y}\right)^{-2} =
\)

\(
= \frac{(x — y)(x + y)}{(x — y)^2} \cdot \frac{(x — y)^2}{(x + y)^2} = \frac{x — y}{x + y};
\)

4)
\(
\left(\frac{x + 9}{x + 7}\right)^{-1} + \left(\frac{x + 7}{x^2 + 81 — 18x} + \frac{x + 5}{x^2 — 81}\right) \left(\frac{x + 3}{x — 9}\right)^{-2} =
\)

\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \left(\frac{x + 7}{(x — 9)^2} + \frac{x + 5}{(x — 9)(x + 9)}\right) \cdot \frac{(x — 9)^2}{(x + 3)^2} =
\)

\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{(x + 7)(x + 9) + (x + 5)(x — 9)}{(x — 9)^2 (x + 9)} \cdot \frac{(x — 9)^2}{(x + 3)^2} =
\)

\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{x^2 + 9x + 7x + 63 + x^2 — 9x + 5x — 45}{(x + 9)(x + 3)^2} =
\)

\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{2x^2 + 12x + 18}{(x + 9)(x + 3)^2} = \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{2(x + 3)^2}{(x + 9)(x + 3)^2} =
\)

\(
= 1;
\)

1)
\(
\left(\frac{x^2}{x — y} — y\right) \cdot \left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1} =
\)

Сначала упростим первую часть:
\(
= \left(\frac{x^2 — y(x — y)}{x — y}\right) \cdot \left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1}.
\)

Теперь упростим вторую часть:
\(
= \frac{x^2 — y(x — y)}{x — y} \cdot \frac{x + y}{x(x + y) + y^2} =
\)

Теперь упростим числитель:
\(
= \frac{x^2 — xy + y^2}{x — y} \cdot \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} =
\)

Теперь можно заметить, что:
\(
x^2 — xy + y^2 = (x — y)^2 + xy.
\)

Поэтому:
\(
= \frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3}.
\)

2)
\(
\left(\frac{a}{8} + \frac{1}{6a} + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{a + 2}{12a}\right)^{-1} \cdot (3a + 2)^{-1} =
\)

Сначала упростим выражение в скобках:
\(
= \frac{18a^2 + 24 + 48a}{144a} \cdot \left(\frac{12a}{a + 2}\right) \cdot \frac{1}{3a + 2}.
\)

Теперь упростим:
\(
= \frac{6(3a + 2)(a + 2)}{12(a + 2)(3a + 2)} \cdot \frac{1}{2} =
\)

После сокращения получаем:
\(
= \frac{1}{2}.
\)

3)
\(
\left(\frac{x}{y} — \frac{y}{x}\right) \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} — 2\right)^{-1} \left(\left(1 + \frac{y}{x}\right) \frac{x}{x — y}\right)^{-2} =
\)

Сначала упростим первую часть:
\(
= \frac{x^2 — y^2}{xy} \cdot \left(\frac{xy}{x^2 + y^2 — 2xy}\right) \cdot \left(\frac{x + y}{x} \cdot \frac{x}{x — y}\right)^{-2}.
\)

Упрощаем:
\(
= \frac{(x — y)(x + y)}{xy} \cdot \frac{xy}{(x — y)^2} = \frac{x — y}{x + y}.
\)

4)
\(
\left(\frac{x + 9}{x + 7}\right)^{-1} + \left(\frac{x + 7}{x^2 + 81 — 18x} + \frac{x + 5}{x^2 — 81}\right) \left(\frac{x + 3}{x — 9}\right)^{-2} =
\)

Сначала упростим первую часть:
\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \left(\frac{x + 7}{(x — 9)^2} + \frac{x + 5}{(x — 9)(x + 9)}\right) \cdot \left(\frac{(x — 9)^2}{(x + 3)^2}\right).
\)

Теперь упростим вторую часть:
\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{(x + 7)(x + 9) + (x + 5)(x — 9)}{(x — 9)^2 (x + 9)} \cdot \frac{(x — 9)^2}{(x + 3)^2}.
\)

Упрощаем числитель:
\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{x^2 + 9x + 7x + 63 + x^2 — 9x + 5x — 45}{(x + 9)(x + 3)^2}.
\)

Теперь продолжаем упрощение:
\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{2x^2 + 12x + 18}{(x + 9)(x + 3)^2}.
\)

Теперь можно заметить, что:
\(
= \frac{x + 7}{x + 9} + \frac{2(x + 3)^2}{(x + 9)(x + 3)^2}.
\)

После сокращения получаем:
\(
= 1.
\)