ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.106 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\(
\frac{1}{x(x + 4)} + \frac{1}{(x + 4)(x + 8)} + \frac{1}{(x + 8)(x + 12)} + \frac{1}{(x + 12)(x + 16)}.
\)

Упростить выражение:

\(
\frac{1}{x(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+8)} + \frac{1}{(x+8)(x+12)} + \frac{1}{(x+12)(x+16)} =
\)

\(
= \frac{x+8+x}{x(x+4)(x+8)} + \frac{x+16+x+8}{(x+8)(x+12)(x+16)} =
\)

\(
= \frac{2(x+4)}{x(x+4)(x+8)} + \frac{2(x+12)}{(x+8)(x+12)(x+16)} =
\)

\(
= \frac{2}{x(x+8)} + \frac{2}{(x+8)(x+16)} = \frac{2(x+16) + 2x}{x(x+8)(x+16)} = \frac{2x + 32 + 2x}{x(x+8)(x+16)} =
\)

\(
= \frac{4(x+8)}{x(x+8)(x+16)} = \frac{4}{x(x+16)};
\)

Упростим выражение:

\(
\frac{1}{x(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+8)} + \frac{1}{(x+8)(x+12)} + \frac{1}{(x+12)(x+16)}.
\)

Сначала найдём общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель будет равен \(x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)\).

Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:

\(
= \frac{(x + 4)(x + 8)(x + 12)(x + 16) + x(x + 8)(x + 12)(x + 16) + x(x + 4)(x + 12)(x + 16) + x(x + 4)(x + 8)}{x(x + 4)(x + 8)(x + 12)(x + 16)}.
\)

Теперь упростим числитель. Начнём с первой дроби:

\(
= \frac{(x + 4)(x + 8)(x + 12)(x + 16)}{x(x + 4)(x + 8)(x + 12)(x + 16)}.
\)

Вторая дробь:

\(
= \frac{x(x + 8)(x + 12)(x + 16)}{x(x + 4)(x + 8)(x + 12)(x + 16)}.
\)

Третья дробь:

\(
= \frac{x(x + 4)(x + 12)(x + 16)}{x(x + 4)(x + 8)(x + 12)(x + 16)}.
\)

Четвёртая дробь:

\(
= \frac{x(x + 4)(x + 8)}{x(x + 4)(x + 8)(x + 12)(x + 16)}.
\)

Теперь объединим все дроби в числителе:

\(
= \frac{(x+4)(x+8)(x+12)(x+16) + x(x+8)(x+12)(x+16) + x(x+4)(x+12)(x+16) + x(x+4)(x+8)}{x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)}.
\)

Упрощая числитель, получаем:

\(
= \frac{x^2 — y^2}{xy}.
\)

Теперь, после всех упрощений, мы можем выразить результат как:

\(
= \frac{4}{x(x+16)}.
\)