ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.107 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

1)
\(
\frac{1}{x — \frac{2}{x — 1}};
\)

2)
\(
\frac{x + 1}{\frac{1}{x} — \frac{1}{2x + 1}}.
\)

Найти область определения:

1)
\(
\frac{1}{x — \frac{2}{x-1}};
\)

Область определения:
\(
x — \frac{2}{x-1} \neq 0;
\)

\(
\frac{x(x-1) — 2}{x-1} \neq 0;
\)

\(
\frac{x^2 — x — 2}{x-1} \neq 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
\frac{(x+1)(x-2)}{x-1} \neq 0;
\)

\(
x \neq -1, \quad x \neq 1, \quad x \neq 2;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty).
\)

2)
\(
\frac{x+1}{\frac{1}{x} — \frac{1}{2x+1}};
\)

Область определения:
\(
\frac{1}{x} — \frac{1}{2x+1} \neq 0;
\)

\(
\frac{2x+1 — x}{x(2x+1)} \neq 0;
\)

\(
\frac{x+1}{x(2x+1)} \neq 0;
\)

\(
x \neq -1, \quad x \neq -\frac{1}{2}, \quad x \neq 0;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -1) \cup (-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; +\infty).
\)

1)
\(
\frac{1}{x — \frac{2}{x-1}};
\)

Область определения требует, чтобы знаменатель не равнялся нулю:
\(
x — \frac{2}{x-1} \neq 0.
\)

Умножим обе стороны на \(x — 1\) (при условии, что \(x \neq 1\)):
\(
(x — 1)\left(x — \frac{2}{x-1}\right) \neq 0 \Rightarrow x(x — 1) — 2 \neq 0.
\)

Теперь упростим:
\(
x^2 — x — 2 \neq 0.
\)

Решим квадратное уравнение \(x^2 — x — 2 = 0\) с помощью дискриминанта:
\(
D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 3}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Теперь у нас есть корни, и мы можем записать:
\(
\frac{(x+1)(x-2)}{x-1} \neq 0.
\)

Таким образом, \(x \neq -1, x \neq 1, x \neq 2\).

Ответ:
\(
(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty).
\)

2)
\(
\frac{x+1}{\frac{1}{x} — \frac{1}{2x+1}};
\)

Область определения требует, чтобы знаменатель не равнялся нулю:
\(
\frac{1}{x} — \frac{1}{2x+1} \neq 0.
\)

Умножим обе стороны на \(x(2x + 1)\) (при условии, что \(x \neq 0\) и \(2x + 1 \neq 0\)):
\(
(2x + 1) — x \neq 0.
\)

Упрощаем:
\(
x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1.
\)

Теперь проверим вторую часть:
\(
x(2x + 1) \neq 0,
\)
что даёт условия:
\(
x \neq 0, \quad x \neq -\frac{1}{2}.
\)

Таким образом, окончательно:
Ответ:
\(
(-\infty; -1) \cup (-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; 0) \cup (0; +\infty).
\)