ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.108 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)
\(
x^2 y^2 \left(\frac{1}{(x+y)^2} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right) + \frac{2}{(x+y)^3} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)\right);
\)

2)
\(
\frac{a^2 — 1}{b^2 + b} \left(1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{b}}\right) \cdot \frac{1 + b — b^3 — b^4}{1 — a^2}.
\)

1)
\(
x^2 y^2 \left( \frac{1}{(x+y)^2} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right) + \frac{2}{(x+y)^3} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \right) =
\)

\(
= x^2 y^2 \left( \frac{1}{(x+y)^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2} + \frac{2}{(x+y)^3} \cdot \frac{x+y}{xy} \right) =
\)

\(
= \frac{x^2 + y^2}{(x+y)^2} + \frac{2xy(x+y)}{(x+y)^3} = \frac{(x+y)(x^2 + y^2) + 2xy(x+y)}{(x+y)^3} =
\)

\(
= \frac{x^3 + x y^2 + x^2 y + y^3 + 2x^2 y + 2xy^2}{(x+y)^3} =
\)

\(
= \frac{x^3 + 3xy^2 + 3x^2 y + y^3}{(x+y)^3} = \frac{(x+y)^3}{(x+y)^3} = 1;
\)

2)
\(
\frac{a^2 — 1}{b^2 + b} \left(1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{b}} \right) \cdot \frac{1 + b — b^3 — b^4}{1 — a^2} =
\)

\(
= \frac{-(1 — a^2)}{b(b+1)} \cdot \left(1 — \frac{b}{b-1}\right) \cdot \frac{(1 + b) — b^3 (1 + b)}{1 — a^2} =
\)

\(
= \frac{-1}{b(b+1)} \cdot \frac{1 — b}{1} \cdot (1 + b)(1 — b^3) =
\)

\(
= \frac{1-b}{b(b+1)} \cdot (1 + b)(1 — b^3) = \frac{-(b-1)(b^2 + b + 1)}{b(b-1)} =
\)

\(
= \frac{b^2 + b + 1}{b};
\)

1)

Рассмотрим выражение:

\(
x^2 y^2 \left( \frac{1}{(x+y)^2} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right) + \frac{2}{(x+y)^3} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \right).
\)

Начнем с упрощения первой части:

\(
= x^2 y^2 \left( \frac{1}{(x+y)^2} \cdot \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right) + \frac{2}{(x+y)^3} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \right).
\)

Заменим \(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\) на \(\frac{y^2 + x^2}{x^2 y^2}\) и \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) на \(\frac{x+y}{xy}\):

\(
= x^2 y^2 \left( \frac{1}{(x+y)^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2} + \frac{2}{(x+y)^3} \cdot \frac{x+y}{xy} \right).
\)

Теперь упростим каждую часть:

\(
= x^2 y^2 \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x+y)^2 x^2 y^2} + x^2 y^2 \cdot \frac{2(x+y)}{(x+y)^3 xy}.
\)

Это приводит к:

\(
= \frac{x^2 + y^2}{(x+y)^2} + \frac{2xy(x+y)}{(x+y)^3}.
\)

Теперь объединим дроби:

\(
= \frac{(x+y)(x^2 + y^2) + 2xy(x+y)}{(x+y)^3}.
\)

Упростим числитель:

\(
= \frac{x^3 + xy^2 + x^2y + y^3 + 2x^2y + 2xy^2}{(x+y)^3}.
\)

Соберем подобные слагаемые:

\(
= \frac{x^3 + 3xy^2 + 3x^2y + y^3}{(x+y)^3}.
\)

Наконец, заметим, что числитель равен \( (x+y)^3\):

\(
= \frac{(x+y)^3}{(x+y)^3} = 1.
\)

Теперь рассмотрим второе выражение:

\(
\frac{a^2 — 1}{b^2 + b} \left(1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{b}} \right) \cdot \frac{1 + b — b^3 — b^4}{1 — a^2}.
\)

Сначала упростим часть \(1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{b}}\):

\(
= 1 — \frac{b}{b-1} = 1 — b(b-1)^{-1}.
\)

Это можно записать как:

\(
= \frac{(b-1) — b}{b-1} = \frac{-1}{b-1}.
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\(
= \frac{a^2 — 1}{b(b+1)} \cdot \frac{-1}{b-1} \cdot \frac{(1+b) — b^3(1+b)}{1-a^2}.
\)

Упростим дальше:

\(
= \frac{-(a^2 — 1)}{b(b+1)(b-1)} \cdot (1+b — b^3 — b^4).
\)

Теперь упростим числитель:

\(
= (1 + b)(1 — b)(1 + b)(1 — b^3).
\)

Получаем:

\(
= \frac{- (b-1)(b^2 + b + 1)}{b(b+1)(b-1)}.
\)

Сокращаем \(b-1\):

\(
= \frac{-(b-1)(b^2 + b + 1)}{b}.
\)

Таким образом, окончательно упрощаем до:

\(
= \frac{b^2 + b + 1}{b}.
\)