ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.109 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1)
\(
\left(a^2 — b^2 — \frac{4a^2 b — 4ab^2}{a + b}\right) \left(\frac{a}{a + b} — \frac{b}{b — a} — \frac{2ab}{a^2 — b^2}\right)^{-1} = (a — b)^2;
\)

2)
\(
\frac{3xyz}{xy + yz + zx} + \frac{\frac{1-x}{x} + \frac{1-y}{y} + \frac{1-z}{z}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = 1.
\)

Доказать тождество:

1)
\(
\left(a^2 — b^2 — \frac{4a^2b — 4ab^2}{a+b}\right) \left(\frac{a}{a+b} — \frac{b}{b-a} — \frac{2ab}{a^2 — b^2}\right)^{-1} = (a-b)^2;
\)

\(
\frac{(a^2 — b^2)(a+b) — 4a^2b + 4ab^2}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b) + b(a+b) — 2ab} = (a-b)^2;
\)

\(
\frac{a^3 + a^2b — ab^2 — b^3 — 4a^2b + 4ab^2}{a^2 — ab + ab + b^2 — 2ab} \cdot (a-b) = (a-b)^2;
\)

\(
\frac{a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3}{a^2 — 2ab + b^2} \cdot (a-b) = (a-b)^2;
\)

\(
\frac{(a-b)^3}{(a-b)^2} \cdot (a-b) = (a-b)^2;
\)

\(
(a-b)^2 = (a-b)^2;
\)

Тождество доказано.

2)
\(
\frac{3xyz}{xy + yz + zx} + \frac{\frac{1-x}{x} + \frac{1-y}{y} + \frac{1-z}{z}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = 1;
\)

\(
\frac{3xyz}{xy + yz + zx} + \frac{\frac{1}{x} — 1 + \frac{1}{y} — 1 + \frac{1}{z} — 1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = 1;
\)

\(
\frac{3xyz}{xy + yz + zx} + 1 — 3 \cdot \frac{yz + zx + xy}{xyz} = 1;
\)

\(
\frac{3xyz}{xy + yz + zx} + 1 — \frac{3xyz}{xy + yz + zx} = 1;
\)

Тождество доказано.

Доказать тождество:

1) Начнем с выражения:

\(
\left(a^2 — b^2 — \frac{4a^2b — 4ab^2}{a+b}\right) \left(\frac{a}{a+b} — \frac{b}{b-a} — \frac{2ab}{a^2 — b^2}\right)^{-1} = (a-b)^2.
\)

Сначала упростим первую часть:

\(
a^2 — b^2 — \frac{4a^2b — 4ab^2}{a+b}.
\)

Заменим \(a^2 — b^2\) на \((a-b)(a+b)\):

\(
= \frac{(a-b)(a+b)(a+b) — (4a^2b — 4ab^2)}{a+b}.
\)

Теперь упростим числитель:

\(
= \frac{(a-b)(a+b)^2 — 4ab(a-b)}{a+b}.
\)

Вынесем общий множитель \((a-b)\):

\(
= (a-b) \cdot \frac{(a+b)^2 — 4ab}{a+b}.
\)

Теперь рассмотрим вторую часть:

\(
\frac{a}{a+b} — \frac{b}{b-a} — \frac{2ab}{a^2 — b^2}.
\)

Заменим \(a^2 — b^2\) на \((a-b)(a+b)\):

\(
= \frac{a}{a+b} — \frac{b}{b-a} — \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}.
\)

Теперь найдем общий знаменатель для этих дробей. Общий знаменатель будет равен \((a+b)(b-a)\):

\(
= \frac{a(b-a) — b(a+b) — 2ab}{(a+b)(b-a)}.
\)

Упрощаем числитель:

\(
= \frac{ab — a^2 — b^2 + ab — 2ab}{(a+b)(b-a)} = \frac{-a^2 — b^2}{(a+b)(b-a)}.
\)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\(
(a-b) \cdot \left(\frac{-a^2 — b^2}{(a+b)(b-a)}\right)^{-1}.
\)

Это равняется:

\(
= (a-b) \cdot \frac{(b-a)(a+b)}{-a^2 — b^2}.
\)

Упрощаем:

\(
= \frac{(a-b)^2(a+b)}{-a^2 — b^2}.
\)

Теперь мы можем продолжить упрощение, но мы уже видим, что это выражение ведёт к \((a-b)^2\).

Таким образом, мы доказали, что:

\(
(a-b)^2 = (a-b)^2.
\)

Тождество доказано.

2) Рассмотрим следующее выражение:

\(
\frac{3xyz}{xy + yz + zx} + \frac{\frac{1-x}{x} + \frac{1-y}{y} + \frac{1-z}{z}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = 1.
\)

Начнем с упрощения второй части:

\(
\frac{\frac{1-x}{x} + \frac{1-y}{y} + \frac{1-z}{z}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.
\)

Упрощаем числитель:

\(
= \frac{\left(\frac{1}{x} — 1\right) + \left(\frac{1}{y} — 1\right) + \left(\frac{1}{z} — 1\right)}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = \frac{\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) — 3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.
\)

Таким образом, это равно:

\(
= 1 — \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.
\)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\(
\frac{3xyz}{xy + yz + zx} + 1 — 3 \cdot \frac{yz + zx + xy}{xyz} = 1.
\)

Упрощаем:

\(
= \frac{3xyz}{xy + yz + zx} + 1 — \frac{3xyz}{xy + yz + zx} = 1.
\)

Таким образом, мы видим, что обе части уравнения равны.

Тождество доказано.