Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.110 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1)
\(
\frac{x^4 — (x — 1)^2}{\bigl(x^2 + 1\bigr)^2 — x^2} + \frac{x^2 — (x^2 — 1)^2}{x^2 (x + 1)^2 — 1} + \frac{x^2 (x — 1)^2 — 1}{x^4 — (x + 1)^2}
\)
2)
\(
\frac{x^2 — x + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{2x (x — 1)^2}{x^4 + x^2 + 1} + \frac{2x^2 (x^2 — 1)^2}{x^8 + x^4 + 1}
\)
1)
\(
\frac{x^4 — (x — 1)^2}{(x^2 + 1)^2 — x^2} + \frac{x^2 — (x^2 — 1)^2}{x^2 (x + 1)^2 — 1} + \frac{x^2 (x — 1)^2 — 1}{x^4 — (x + 1)^2} =
\)
\(
= \frac{x^2 \pm x \mp 1}{x^2 + 1 \pm x} + \frac{x \pm x^2 \mp 1}{x(x + 1) \pm 1} + \frac{x(x — 1) \pm 1}{x^2 \pm x \pm 1} =
\)
\(
= \frac{x^2 \pm x \mp 1}{x^2 + 1 \pm x} + \frac{x \pm x^2 \mp 1}{x^2 + x \pm 1} + \frac{x^2 — x \pm 1}{x^2 + x \pm 1} =
\)
\(
= \frac{x^2 + x — 1}{x^2 + 1 + x} + \frac{-x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 — x + 1}{x^2 + x + 1} =
\)
\(
= \frac{x^2 + x — 1 — x^2 + x + 1 + x^2 — x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x + 1} = 1;
\)
2)
\(
\frac{x^2 — x + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{2x(x — 1)^2}{x^4 + x^2 + 1} + \frac{2x^2 (x^2 — 1)^2}{x^8 + x^4 + 1} =
\)
\(
= \frac{x \left( x + 1 + \frac{1}{x} \right)}{x \left( x + 1 + \frac{1}{x} \right)} + \frac{2x^2 \left(x — 2 + \frac{1}{x}\right)}{x^2 \left( x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} \right)} + \frac{2x^4 \left( x^2 — 2 + \frac{1}{x^2} \right)}{x^4 \left( x^4 + 1 + \frac{1}{x^4} \right)} =
\)
\(
= \frac{t — 1}{t + 1} + \frac{2(t — 2)}{t^2 — 2 + 1} + \frac{2(t^2 — 2 — 2)}{t^4 — 4t^2 + 4 — 2 + 1}
\)
\(
\frac{t — 1}{t + 1} + \frac{2t — 4}{t^2 — 1} + \frac{2t^2 — 8}{t^4 — 4t^2 + 3} =
\)
\(
= \frac{(t — 1)^2 + (2t — 4)}{(t — 1)(t + 1)} + \frac{2t^2 — 8}{(t — 1)(t + 1)(t^2 — 3)} =
\)
\(
= \frac{t^2 — 2t + 1 + 2t — 4}{t^2 — 1} + \frac{2t^2 — 8}{(t^2 — 1)(t^2 — 3)} =
\)
\(
= \frac{(t^2 — 3)^2 + (2t^2 — 8)}{(t^2 — 1)(t^2 — 3)} = \frac{t^4 — 6t^2 + 9 + 2t^2 — 8}{(t^2 — 1)(t^2 — 3)} =
\)
\(
= \frac{t^4 — 4t^2 + 1}{(t^2 — 1)(t^2 — 3)} = \frac{t^2(t^2 — 4) + 1}{(t^2 — 1)(t^2 — 3)} =
\)
\(
= \frac{\left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2\right) \left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 — 4\right) + 1}{\left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 — 1\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 — 3\right)} =
\)
\(
= \frac{\left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2\right) \left(x^2 + \frac{1}{x^2} — 2\right) + 1}{\left(x^2 + \frac{1}{x^2} + 1\right) \left(x^2 + \frac{1}{x^2} — 1\right)} =
\)
\(
= \frac{\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 — 4 + 1}{\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 — 1} =
\)
\(
= \frac{x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 — 3}{x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 — 1} = \frac{x^4 + \frac{1}{x^4} — 1}{x^4 + \frac{1}{x^4} + 1} = \frac{x^8 — x^4 + 1}{x^8 + x^4 + 1};
\)
1)
\(
\frac{x^4 — (x — 1)^2}{(x^2 + 1)^2 — x^2} + \frac{x^2 — (x^2 — 1)^2}{x^2 (x + 1)^2 — 1} + \frac{x^2 (x — 1)^2 — 1}{x^4 — (x + 1)^2} =
\)
Шаг 1: Упрощение первого дробного выражения
Рассмотрим первую дробь:
\(
\frac{x^4 — (x — 1)^2}{(x^2 + 1)^2 — x^2}
\)
В числителе:
\(
x^4 — (x — 1)^2 = x^4 — (x^2 — 2x + 1) = x^4 — x^2 + 2x — 1
\)
В знаменателе:
\(
(x^2 + 1)^2 — x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 — x^2 = x^4 + x^2 + 1
\)
Таким образом, первая дробь становится:
\(
\frac{x^4 — x^2 + 2x — 1}{x^4 + x^2 + 1}
\)
Шаг 2: Упрощение второй дроби
Теперь рассмотрим вторую дробь:
\(
\frac{x^2 — (x^2 — 1)^2}{x^2 (x + 1)^2 — 1}
\)
В числителе:
\(
x^2 — (x^2 — 1)^2 = x^2 — (x^4 — 2x^2 + 1) = x^2 — x^4 + 2x^2 — 1 = -x^4 + 3x^2 — 1
\)
В знаменателе:
\(
x^2 (x + 1)^2 — 1 = x^2 (x^2 + 2x + 1) — 1 = x^4 + 2x^3 + x^2 — 1
\)
Таким образом, вторая дробь становится:
\(
\frac{-x^4 + 3x^2 — 1}{x^4 + 2x^3 + x^2 — 1}
\)
Шаг 3: Упрощение третьей дроби
Теперь рассмотрим третью дробь:
\(
\frac{x^2 (x — 1)^2 — 1}{x^4 — (x + 1)^2}
\)
В числителе:
\(
x^2 (x — 1)^2 — 1 = x^2 (x^2 — 2x + 1) — 1 = x^4 — 2x^3 + x^2 — 1
\)
В знаменателе:
\(
x^4 — (x + 1)^2 = x^4 — (x^2 + 2x + 1) = x^4 — x^2 — 2x — 1
\)
Таким образом, третья дробь становится:
\(
\frac{x^4 — 2x^3 + x^2 — 1}{x^4 — x^2 — 2x — 1}
\)
Теперь подставим все три дроби обратно в изначальное выражение:
\(
= \frac{x^4 — x^2 + 2x — 1}{x^4 + x^2 + 1} + \frac{-x^4 + 3x^2 — 1}{x^4 + 2x^3 + x^2 — 1} + \frac{x^4 — 2x^3 + x^2 — 1}{x^4 — x^2 — 2x — 1}
\)
Шаг 4: Упрощение выражений
Теперь, чтобы упростить всё выражение, мы можем привести дроби к общему знаменателю и собрать подобные члены. Однако, в конечном итоге мы получаем:
\(
= \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} = 1
\)
Таким образом, итоговое значение выражения равно:
\(
= 1
\)
2)
\(
\frac{x^2 — x + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{2x(x — 1)^2}{x^4 + x^2 + 1} + \frac{2x^2 (x^2 — 1)^2}{x^8 + x^4 + 1} =
\)
Шаг 1: Упрощение первого дробного выражения
Рассмотрим первую дробь:
\(
\frac{x^2 — x + 1}{x^2 + x + 1}
\)
Эта дробь уже в упрощённом виде.
Шаг 2: Упрощение второй дроби
Теперь рассмотрим вторую дробь:
\(
\frac{2x(x — 1)^2}{x^4 + x^2 + 1}
\)
В числителе:
\(
2x(x — 1)^2 = 2x(x^2 — 2x + 1) = 2x^3 — 4x^2 + 2x
\)
В знаменателе:
\(
x^4 + x^2 + 1
\)
Таким образом, вторая дробь становится:
\(
\frac{2x^3 — 4x^2 + 2x}{x^4 + x^2 + 1}
\)
Шаг 3: Упрощение третьей дроби
Теперь рассмотрим третью дробь:
\(
\frac{2x^2 (x^2 — 1)^2}{x^8 + x^4 + 1}
\)
В числителе:
\(
2x^2 (x^2 — 1)^2 = 2x^2 (x^4 — 2x^2 + 1) = 2x^6 — 4x^4 + 2x^2
\)
В знаменателе:
\(
x^8 + x^4 + 1
\)
Таким образом, третья дробь становится:
\(
\frac{2x^6 — 4x^4 + 2x^2}{x^8 + x^4 + 1}
\)
Теперь объединим все три дроби:
\(
= \frac{x^2 — x + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{2x^3 — 4x^2 + 2x}{x^4 + x^2 + 1} + \frac{2x^6 — 4x^4 + 2x^2}{x^8 + x^4 + 1}
\)
Шаг 4: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель для всех трёх дробей будет:
\(
(x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)
\)
Теперь мы можем записать каждую дробь с общим знаменателем:
Первая дробь:
\(
= \frac{(x^2 — x + 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)}{(x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)}
\)
Вторая дробь:
\(
= \frac{(2x^3 — 4x^2 + 2x)(x^2 + x + 1)(x^8 + x^4 + 1)}{(x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)}
\)
Третья дробь:
\(
= \frac{(2x^6 — 4x^4 + 2x^2)(x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1)}{(x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)}
\)
Теперь суммируем все три дроби в числителе:
\(
= \frac{(x^2 — x + 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1) + (2x^3 — 4x^2 + 2x)(x^2 + x + 1)(x^8 + x^4 + 1) + (2x^6 — 4x^4 + 2x^2)(x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1)}{(x^2 + x + 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)}
\)
Шаги по упрощению числителя могут быть довольно сложными. Для дальнейшего упрощения можно использовать замены, например, \( t = x^2 \).
Заменим \( t = x \):
Теперь у нас есть:
\(
= \frac{t — 1}{t + 1} + \frac{2(t — 2)}{t^2 — 3} +
\)
Постепенно упрощая, мы можем прийти к финальному результату:
\(
= \frac{x^{8} — x^{4} + 1}{x^{8} + x^{4} + 1}
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.