ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.111 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\(
\frac{bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{ca}{(b+c)(b+a)} + \frac{ab}{(c+a)(c+b)} + \frac{2bc}{(b+c)(c+a)(a+b)}.
\)

\(
\frac{bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{ca}{(b+c)(b+a)} + \frac{ab}{(c+a)(c+b)} + \frac{2abc}{(b+c)(c+a)(a+b)} =
\)

\(
= \frac{bc(b+c) + ca(a+c) + ab(a+b) + 2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

\(
= \frac{b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + a^2 b + ab^2 + 2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

\(
= \frac{(b^2 c + ab^2) + (bc^2 + abc) + (a^2 b + abc) + (a^2 c + ac^2)}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

\(
= \frac{b^2 c + bc(a+c) + ab(a+c) + ac(a+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

\(
= \frac{b^2 + bc + ab + ac}{(a+b)(b+c)} =
\)

\(
= \frac{b(b+c) + a(b+c)}{(a+b)(b+c)} = \frac{(b+a)(b+c)}{(a+b)(b+c)} = 1;
\)

\(
\frac{bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{ca}{(b+c)(b+a)} + \frac{ab}{(c+a)(c+b)} + \frac{2abc}{(b+c)(c+a)(a+b)} =
\)

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель для всех дробей будет \((a+b)(a+c)(b+c)\). Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы привести к общему знаменателю:

\(
= \frac{bc(b+c) + ca(a+c) + ab(a+b) + 2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

Шаг 2: Раскрытие скобок в числителе

Теперь раскроем скобки в числителе:

\(
bc(b+c) = b^2c + bc^2,
\)

\(
ca(a+c) = a^2c + ac^2,
\)

\(
ab(a+b) = a^2b + ab^2,
\)

\(
2abc = 2abc.
\)

Таким образом, числитель становится:

\(
b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + a^2b + ab^2 + 2abc.
\)

Теперь у нас есть:

\(
= \frac{b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + a^2 b + ab^2 + 2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

Шаг 3: Группировка слагаемых

Теперь сгруппируем слагаемые в числителе:

\(
= \frac{(b^2 c + ab^2) + (bc^2 + abc) + (a^2 b + abc) + (a^2 c + ac^2)}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

Шаг 4: Упрощение выражения

Объединим некоторые слагаемые:

\(
= \frac{b^2 c + bc(a+c) + ab(a+c) + ac(a+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)} =
\)

Шаг 5: Вынесение общего множителя

В числителе можем вынести общий множитель \((a+c)\):

\(
= \frac{b^2 + bc + ab + ac}{(a+b)(b+c)} =
\)

Шаг 6: Упрощение дроби

Теперь можно записать числитель как:

\(
= \frac{b(b+c) + a(b+c)}{(a+b)(b+c)} =
\)

Шаг 7: Сокращение

Теперь видим, что \((b+c)\) можно сократить:

\(
= \frac{(b+a)(b+c)}{(a+b)(b+c)} = 1;
\)

Таким образом, окончательный результат:

\(
= 1.
\)