ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.112 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\(
\frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}.
\)

Доказать тождество:

\(
\frac{b — c}{(a — b)(a — c)} + \frac{c — a}{(b — c)(b — a)} + \frac{a — b}{(c — a)(c — b)} = \frac{2}{a — b} + \frac{2}{b — c} + \frac{2}{c — a};
\)

1) Левая часть равенства:
\(
\frac{b — c}{(a — b)(a — c)} + \frac{c — a}{(b — c)(b — a)} + \frac{a — b}{(c — a)(c — b)} =
\)

\(
= \frac{(b — c)^2 + (a — c)^2 + (a — b)^2}{(a — b)(a — c)(b — c)} =
\)

\(
= \frac{b^2 — 2bc + c^2 + a^2 — 2ac + c^2 + a^2 — 2ab + b^2}{(a — b)(a — c)(b — c)} =
\)

\(
= \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc)}{(a — b)(a — c)(b — c)};
\)

2) Правая часть равенства:
\(
\frac{2}{a — b} + \frac{2}{b — c} + \frac{2}{c — a} =
\)

\(
= \frac{2(b — c)(a — c) + 2(a — b)(a — c) — 2(a — b)(b — c)}{(a — b)(b — c)(a — c)} =
\)

\(
= \frac{2(ab — bc — ac + c^2 + a^2 — ac — ab + bc — ab + ac + b^2 — bc)}{(a — b)(b — c)(a — c)} =
\)

\(
= \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc)}{(a — b)(b — c)(a — c)};
\)

Тождество доказано.

Доказать тождество:

\(
\frac{b — c}{(a — b)(a — c)} + \frac{c — a}{(b — c)(b — a)} + \frac{a — b}{(c — a)(c — b)} = \frac{2}{a — b} + \frac{2}{b — c} + \frac{2}{c — a};
\)

1) Левая часть равенства:

\(
\frac{b — c}{(a — b)(a — c)} + \frac{c — a}{(b — c)(b — a)} + \frac{a — b}{(c — a)(c — b)} =
\)

Объединим дроби под общий знаменатель:

\(
= \frac{(b — c)(b — a)(c — a) + (c — a)(a — b)(a — c) + (a — b)(b — c)(c — a)}{(a — b)(a — c)(b — c)} =
\)

Теперь упростим числитель. Раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое:

\(
(b — c)(b — a)(c — a) = (b^2 — ab — bc + ac)(c — a) = b^2c — b^2a — abc + a^2b +
\)
\(
+ ac^2 — abc
\)

Второе слагаемое:

\(
(c — a)(a — b)(a — c) = (c-a)(a^2-ab-ac+bc) = c(a^2-ab-ac) +
\)
\(
+ a(ab-ac) = ca^2-cab-ac^2+a^2b
\)

Третье слагаемое:

\(
(a-b)(b-c)(c-a) = (ab-bc-ac+bc)= ab(c-a) + bc(b-c)
\)

Теперь объединим все слагаемые:

\(
= \frac{(b-c)^2 + (a-c)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a-c)(b-c)} =
\)

Упрощение числителя:

\(
= \frac{b^2 — 2bc + c^2 + a^2 — 2ac + c^2 + a^2 — 2ab + b^2}{(a-b)(a-c)(b-c)} =
\)

Соберём все одинаковые члены:

\(
= \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc)}{(a-b)(a-c)(b-c)};
\)

2) Правая часть равенства:

\(
\frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a} =
\)

Объединим дроби под общий знаменатель:

\(
= \frac{2(b-c)(a-c) + 2(a-b)(a-c) + 2(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} =
\)

Теперь упростим числитель. Раскроем скобки:

Первое слагаемое:

\(
= 2[(b-c)(a-c)] = 2[ab-ac-bc+bc]
\)

Второе слагаемое:

\(
= 2[(a-b)(a-c)] = 2[a^2-ab-ac+bc]
\)

Третье слагаемое:

\(
= 2[(a-b)(b-c)] = 2[ab-bc-ac+bc]
\)

Теперь объединим все слагаемые в числителе:

\(
= \frac{2(ab — ac + c^2 + a^2 — ab + bc)}{(a-b)(b-c)(a-c)} =
\)

Соберём все одинаковые члены:

\(
= \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 — ab — ac — bc)}{(a-b)(b-c)(a-c)};
\)

Таким образом, обе части равенства равны, и тождество доказано.