ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.113 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\(
\frac{1}{1-b} + \frac{1}{1+b} + \frac{2}{1+b^2} + \frac{4}{1+b^4} + \ldots + \frac{2^n}{1+b^{2^n}}.
\)

Упростить выражение:

\(
\frac{1}{1 — b} + \frac{1}{1 + b} + \frac{2}{1 + b^2} + \frac{4}{1 + b^4} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} =
\)

\(
= \frac{2}{1 — b^2} + \frac{2}{1 + b^2} + \frac{4}{1 + b^4} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} =
\)

\(
= \frac{4}{1 — b^2} + \frac{4}{1 + b^4} + \frac{8}{1 + b^8} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} =
\)

\(
= \frac{8}{1 — b^8} + \frac{8}{1 + b^8} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} = \cdots =
\)

\(
= \frac{2^n}{1 — b^{2^n}} + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} = \frac{2^{n+1}}{1 — b^{2^{n+1}}};
\)

Упростить выражение:

\(
\frac{1}{1 — b} + \frac{1}{1 + b} + \frac{2}{1 + b^2} + \frac{4}{1 + b^4} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} =
\)

Шаг 1: Объединим первые два слагаемых:

\(
\frac{1}{1 — b} + \frac{1}{1 + b} = \frac{(1 + b) + (1 — b)}{(1 — b)(1 + b)} = \frac{2}{1 — b^2}.
\)

Таким образом, у нас получается:

\(
= \frac{2}{1 — b^2} + \frac{2}{1 + b^2} + \frac{4}{1 + b^4} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} =
\)

Шаг 2: Объединим вторые два слагаемых:

\(
\frac{2}{1 — b^2} + \frac{2}{1 + b^2} = \frac{2(1 + b^2) + 2(1 — b^2)}{(1 — b^2)(1 + b^2)} = \frac{4}{1 — b^4}.
\)

Теперь выражение становится:

\(
= \frac{4}{1 — b^4} + \frac{4}{1 + b^4} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} =
\)

Шаг 3: Объединим следующие два слагаемых:

\(
\frac{4}{1 — b^4} + \frac{4}{1 + b^4} = \frac{4(1 + b^4) + 4(1 — b^4)}{(1 — b^4)(1 + b^4)} = \frac{8}{1 — b^8}.
\)

Теперь у нас получается:

\(
= \frac{8}{1 — b^8} + \cdots + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} = \cdots =
\)

Шаг 4: Объединим последние два слагаемых:

\(
= \frac{2^n}{1 — b^{2^n}} + \frac{2^n}{1 + b^{2^n}} = \frac{2^n(1 + b^{2^n}) + 2^n(1 — b^{2^n})}{(1 — b^{2^n})(1 + b^{2^n})} = \frac{2^{n+1}}{1 — b^{2^{n+1}}}.
\)

Таким образом, мы приходим к окончательному результату:

\(
= \frac{2^{n+1}}{1 — b^{2^{n+1}}}.
\)