Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.114 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Известно, что \( a^2 — a — 1 = 0 \). Докажите, что
\(
\left( a + \frac{1}{a} \right) \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) \left( a^4 + \frac{1}{a^4} \right) \cdots \left( a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}} \right) = \frac{a^{2^n} — 1}{a^{2^n}}.
\)
Известно, что:
\(a^2 — a — 1 = 0;\)
\(
\left(a + \frac{1}{a}\right) \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) \left(a^4 + \frac{1}{a^4}\right) \cdots \left(a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}}\right) = a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}};
\)
\(
\frac{a — \frac{1}{a}}{a — \frac{1}{a}} \left(a + \frac{1}{a}\right) \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) \left(a^4 + \frac{1}{a^4}\right) \cdots \left(a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}}\right) = a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}};
\)
\(
\frac{1}{a — \frac{1}{a}} \left(a^2 — \frac{1}{a^2}\right) \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) \left(a^4 + \frac{1}{a^4}\right) \cdots \left(a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}}\right) = a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}};
\)
\(
\frac{1}{a — \frac{1}{a}} \left(a^{2^{n-1}} — \frac{1}{a^{2^{n-1}}}\right) \left(a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}}\right) = a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}};
\)
\(
\frac{1}{a — \frac{1}{a}} \left(a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}}\right) = a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}};
\)
\(
\frac{1}{a — \frac{1}{a}} = 1;
\)
\(
1 = a — \frac{1}{a};
\)
\(
a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2};
\)
\(
a^2 — a — 1 = 0;
\)
Что и требовалось доказать.
Известно, что:
\( a^2 — a — 1 = 0; \)
Докажем, что:
\(
\left( a + \frac{1}{a} \right) \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) \left( a^4 + \frac{1}{a^4} \right) \cdots \left( a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}} \right) = a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}};
\)
Шаг 1: Начнём с первого произведения:
\(
\left( a + \frac{1}{a} \right) = a + \frac{1}{a}.
\)
Шаг 2: Умножим на следующее выражение:
\(
\left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) = \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 — 2 = (a + \frac{1}{a})^2 — 2.
\)
Шаг 3: Далее, для \( a^4 + \frac{1}{a^4} \):
\(
\left( a^4 + \frac{1}{a^4} \right) = \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right)^2 — 2 = ((a + \frac{1}{a})^2 — 2)^2 — 2.
\)
Шаг 4: Обобщим для \( k \):
\(
\left( a^{2^k} + \frac{1}{a^{2^k}} \right) = (a^{2^{k-1}} + \frac{1}{a^{2^{k-1}}})^2 — 2.
\)
Шаг 5: Таким образом, мы можем записать:
\(
P_n = \left( a + \frac{1}{a} \right) \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) \cdots \left( a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}} \right).
\)
Шаг 6: Используя рекурсию, мы можем выразить:
\(
P_n = P_{n-1}(a^{2^{n-1}} + \frac{1}{a^{2^{n-1}}}) = P_{n-1}(P_{n-2})^2 — 2.
\)
Шаг 7: В конце мы получаем:
\(
P_n = a^{2^n} — \frac{1}{a^{2^n}}.
\)
Шаг 8: Переходя к значению \( a — \frac{1}{a} = 1; \)
Шаг 9: Упрощаем:
\(
\frac{1}{a — \frac{1}{a}} = 1.
\)
Шаг 10: Подставляем значение:
\(
1 = a — \frac{1}{a}.
\)
Шаг 11: Решаем уравнение:
\(
a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\)
Шаг 12: Проверяем начальное уравнение:
\(
a^2 — a — 1 = 0;
\)
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.