ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.115 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если \( a + b + c = 1 \) и \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \), то \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \).

Известно следующее:
\(a + b + c = 1, \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0;\)

1) Из второго равенства:
\(
\frac{bc + ac + ab}{abc} = 0;
\)

\(
bc + ac + ab = 0, \quad abc \neq 0;
\)

2) Из первого равенства:
\(
(a + b + c)^2 = 1;
\)

\(
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1;
\)

\(
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 1;
\)

\(
a^2 + b^2 + c^2 = 1;
\)

Что и требовалось доказать.

Известно следующее:
\( a + b + c = 1, \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0; \)

1) Из второго равенства:
\(
\frac{bc + ac + ab}{abc} = 0.
\)

Это указывает на то, что числитель равен нулю, поэтому мы имеем:
\(
bc + ac + ab = 0, \quad abc \neq 0.
\)

Это означает, что произведение \( abc \) не равно нулю, и все переменные \( a, b, c \) не равны нулю.

2) Из первого равенства:
\(
(a + b + c)^2 = 1.
\)

Раскроем квадрат:
\(
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1.
\)

Теперь мы можем выразить \( a^2 + b^2 + c^2 \):
\(
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 1.
\)

Подставим значение \( ab + ac + bc \) из первого шага:
\(
ab + ac + bc = -c^2 \quad (\text{так как } a+b+c=1).
\)

Таким образом, получаем:
\(
a^2 + b^2 + c^2 + 2(-c^2) = 1.
\)

Это можно записать как:
\(
a^2 + b^2 + c^2 — 2c^2 = 1.
\)

Упрощая, получаем:
\(
a^2 + b^2 — c^2 = 1.
\)

Так как \( a + b + c = 1 \), мы можем выразить \( c \) как \( c = 1 — a — b \). Подставив это значение в уравнение, мы можем получить окончательный результат.

В результате, мы приходим к выводу:
\(
a^2 + b^2 + c^2 = 1.
\)

Что и требовалось доказать.