ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.116 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если

\(
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0
\)

и

\(
\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0,
\)

то

\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.
\)

Известно следующее:
\(
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1, \quad \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0;
\)

1) Из второго равенства:
\(
\frac{ayz + bxz + cxy}{xyz} = 0;
\)

\(
ayz + bxz + cxy = 0, \quad xyz \neq 0;
\)

2) Из первого равенства:
\(
\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}\right)^2 = 1;
\)

\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 2\frac{xy}{ab} + 2\frac{xz}{ac} + 2\frac{yz}{bc} = 1;
\)

\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 2 \frac{xyc + xzb + yza}{abc} = 1;
\)

\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;
\)

Что и требовалось доказать.

Известно следующее:
\(
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1, \quad \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0;
\)

1) Из второго равенства:
\(
\frac{ayz + bxz + cxy}{xyz} = 0.
\)

Это указывает на то, что числитель равен нулю, поэтому мы имеем:
\(
ayz + bxz + cxy = 0, \quad xyz \neq 0.
\)

Это означает, что произведение \( xyz \) не равно нулю, и все переменные \( x, y, z \) не равны нулю.

2) Из первого равенства:
\(
\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}\right)^2 = 1.
\)

Раскроем квадрат:
\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 2\frac{xy}{ab} + 2\frac{xz}{ac} + 2\frac{yz}{bc} = 1.
\)

Теперь мы можем выразить \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \):
\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 — 2\left(\frac{xy}{ab} + \frac{xz}{ac} + \frac{yz}{bc}\right).
\)

Теперь подставим значение \( xy, xz, yz \) из второго равенства. Мы знаем, что:
\(
ayz + bxz + cxy = 0.
\)

Это можно записать как:
\(
cxy = — (ayz + bxz).
\)

Таким образом:
\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 — 2 \cdot \left(-\frac{cxy}{abc}\right) = 1 + 2 \cdot \left(\frac{ayz + bxz}{abc}\right).
\)

Так как \( ayz + bxz + cxy = 0 \), то:
\(
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.
\)

Что и требовалось доказать.