ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.117 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Разложите на множители выражение

\(
x^2 (y — z) + y^2 (z — x) + z^2 (x — y).
\)

Разложить на множители:
\(
x^2(y — z) + y^2(z — x) + z^2(x — y) = 0;
\)

\(
(y — z)x^2 + (z^2 — y^2)x + (y^2 z — y z^2) = 0;
\)

\(
(y — z)(x^2 — (z + y)x + yz) = 0;
\)

\(
(y — z)(x^2 — xz — yx + yz) = 0;
\)

\(
(y — z)(x(x — z) — y(x — z)) = 0;
\)

\(
(y — z)(x — y)(x — z) = 0;
\)

Разложить на множители:
\(
x^2(y — z) + y^2(z — x) + z^2(x — y) = 0.
\)

Начнём с того, что можем сгруппировать термины. Перепишем выражение так:
\(
x^2(y — z) + y^2(z — x) + z^2(x — y).
\)

Теперь выделим общий множитель для каждого из трёх слагаемых. Заметим, что в первых двух слагаемых можно выделить \( x^2 \) и \( y^2 \):
\(
(y — z)x^2 + (z — x)y^2 + (x — y)z^2.
\)

Теперь соберём все слагаемые под общий множитель, используя выделение квадратов и формулы разности квадратов. Мы можем записать:
\(
(y — z)x^2 + (z^2 — y^2)x + (y^2z — yz^2) = 0.
\)

Теперь заметим, что \( z^2 — y^2 \) можно разложить как \( (z — y)(z + y) \). Это даст нам:
\(
(y — z)(x^2 — (z + y)x + yz) = 0.
\)

Теперь у нас есть два множителя: \( (y — z) \) и \( (x^2 — (z + y)x + yz) \). Давайте упростим второй множитель. Раскроем скобки:
\(
x^2 — xz — xy + yz = 0.
\)

Теперь мы можем выделить общий множитель \( (x — z) \) и \( (x — y) \):
\(
(y — z)(x(x — z) — y(x — z)) = 0.
\)

Теперь мы видим, что можно вынести общий множитель \( (x — z) \):
\(
(y — z)(x — y)(x — z) = 0.
\)

Таким образом, окончательное разложение на множители будет:
\(
(y — z)(x — y)(x — z) = 0.
\)