ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.118 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Разложите на множители выражение

\(
x(y^2 — z^2) + y(z^2 — x^2) + z(x^2 — y^2).
\)

Разложить на множители:
\(
x(y^2 — z^2) + y(z^2 — x^2) + z(x^2 — y^2) = 0;
\)

\(
(z — y)x^2 + (y^2 — z^2)x + (y z^2 — y^2 z) = 0;
\)

\(
(z — y)(x^2 — (z + y)x + yz) = 0;
\)

\(
(z — y)(x^2 — zx — yx + yz) = 0;
\)

\(
(z — y)(x(x — z) — y(x — z)) = 0;
\)

\(
(z — y)(x — y)(x — z) = 0;
\)

Разложить на множители:
\(
x(y^2 — z^2) + y(z^2 — x^2) + z(x^2 — y^2) = 0.
\)

Начнём с того, что заметим, что \( y^2 — z^2 \) и другие подобные выражения можно разложить по формуле разности квадратов:
\(
y^2 — z^2 = (y — z)(y + z).
\)

Таким образом, перепишем исходное выражение:
\(
x(y — z)(y + z) + y(z^2 — x^2) + z(x^2 — y^2).
\)

Теперь займёмся вторым и третьим слагаемыми. Разложим их также по формуле разности квадратов:
\(
z^2 — x^2 = (z — x)(z + x), \quad x^2 — y^2 = (x — y)(x + y).
\)

Теперь у нас есть:
\(
x(y — z)(y + z) + y(z — x)(z + x) + z(x — y)(x + y).
\)

Объединим всё это в одно выражение:
\(
(z — y)x^2 + (y^2 — z^2)x + (y z^2 — y^2 z) = 0.
\)

Теперь выделим общий множитель:
\(
(z — y)(x^2 — (z + y)x + yz) = 0.
\)

Теперь раскроем скобки во втором множителе:
\(
(z — y)(x^2 — zx — yx + yz) = 0.
\)

Далее, мы можем выделить общий множитель \( (x — z) \):
\(
(z — y)(x(x — z) — y(x — z)) = 0.
\)

И теперь мы можем записать это как:
\(
(z — y)(x — y)(x — z) = 0.
\)

Таким образом, мы разложили исходное выражение на множители.