ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.119 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если \( a, b, c \) — попарно разные числа, такие что

\(
a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a},
\)

то

\(
|abc| = 1.
\)

Числа \(a, b, c\) таковы, что:
\(
a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a};
\)

1) Из условия следует:
\(
a — b = \frac{1}{c} — \frac{1}{b} = \frac{b — c}{bc};
\)
\(
b — c = \frac{1}{a} — \frac{1}{c} = \frac{c — a}{ac};
\)
\(
c — a = \frac{1}{b} — \frac{1}{a} = \frac{a — b}{ab};
\)

2) Перемножим полученные равенства:
\(
(a — b)(b — c)(c — a) = \frac{(b — c)(c — a)(a — b)}{(abc)^2};
\)

\(
(abc)^2 = 1 — |abc| = 1;
\)

Что и требовалось доказать.

Числа \(a, b, c\) таковы, что:
\(
a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}.
\)

1) Из условия следует:
Мы можем записать первое равенство в виде:
\(
a — b = \frac{1}{c} — \frac{1}{b} = \frac{b — c}{bc}.
\)
Аналогично, для второго равенства:
\(
b — c = \frac{1}{a} — \frac{1}{c} = \frac{c — a}{ac}.
\)
И для третьего:
\(
c — a = \frac{1}{b} — \frac{1}{a} = \frac{a — b}{ab}.
\)

2) Теперь перемножим полученные равенства:
\(
(a — b)(b — c)(c — a) = \frac{(b — c)(c — a)(a — b)}{(abc)^2}.
\)

Слева у нас произведение разностей, а справа — произведение разностей, делённое на \( (abc)^2 \). Упрощая, мы можем сократить обе стороны на \( (a — b)(b — c)(c — a) \), при условии, что ни одно из этих выражений не равно нулю (что выполняется, так как \(a, b, c\) попарно различны).

Таким образом, получаем:
\(
1 = \frac{1}{(abc)^2}.
\)

Теперь это уравнение можно переписать как:
\(
(abc)^2 = 1.
\)

Следовательно, мы имеем:
\(
|abc| = 1.
\)

Что и требовалось доказать.