ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.120 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\frac{5}{x^2 — 4x + 4} — \frac{4}{x^2 — 4} — \frac{1}{x + 2} = 0;
\)

2)
\(
1 + \frac{2x}{x + 4} + \frac{27}{2x^2 + 7x — 4} = \frac{6}{2x — 1};
\)

3)
\(
\frac{x + 1}{x — 1} + \frac{x — 2}{x + 2} + \frac{x — 3}{x + 3} + \frac{x + 4}{x — 4} = 4;
\)

4)
\(
\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 4} — \frac{2x + 6}{x + 2} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} — \frac{2x + 9}{x + 3};
\)

5)
\(
\frac{3x}{x^3 — 1} — \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1 — x)};
\)

6)
\(
\frac{x}{2x^2 + 12x + 10} + \frac{3x + 1}{4x^2 + 16x — 20} — \frac{x + 34}{x^3 + 5x^2 — x — 5} = 0;
\)

7)
\(
\frac{2x — 1}{x + 1} + \frac{3x — 1}{x + 2} = \frac{x — 7}{x — 1} + 4;
\)

8)
\(
\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} + \frac{x^2 + 8x + 20}{x + 4} = \frac{x^2 + 4x + 6}{x + 2} + \frac{x^2 + 6x + 12}{x + 3}.
\)

1)
\(
\frac{5}{x^2 — 4x + 4} — \frac{4}{x^2 — 4} — \frac{1}{x + 2} = 0;
\)

\(
5(x + 2) — 4(x — 2) — (x — 2)^2 = 0;
\)

\(
5x + 10 — 4x + 8 — x^2 + 4x — 4 = 0;
\)

\(
x^2 — 5x — 14 = 0;
\)

\(
D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7;
\)

Область определения:
\(
x — 2 \neq 0, \quad x + 2 \neq 0;
\)

\(
x \neq 2, \quad x \neq -2;
\)

Ответ: 7.

2)
\(
1 + \frac{2x}{x + 4} + \frac{27}{2x^2 + 7x — 4} = \frac{6}{2x — 1};
\)

\(
(x + 4)(2x — 1) + 2x(2x — 1) + 27 = 6(x + 4);
\)

\(
2x^2 + 7x — 4 + 4x^2 — 2x + 27 — 6x — 24 = 0;
\)

\(
6x^2 — x — 1 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 6} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = 1;
\)

Область определения:
\(
x + 4 \neq 0, \quad 2x — 1 \neq 0;
\)

\(
x \neq -4, \quad x \neq \frac{1}{2};
\)

Ответ: \(-\frac{1}{3}\).

3)
\(
\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x+2} + \frac{x-3}{x+3} + \frac{x+4}{x-4} = 4;
\)

\(
\frac{(x+1)(x+3) + (x-3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} + \frac{(x-2)(x-4) + (x+4)(x+2)}{(x+2)(x-4)} = 4;
\)

\(
\frac{x^2 + 3x + x + 3 + x^2 — x — 3x + 3}{x^2 + 2x — 3} + \frac{x^2 — 4x — 2x + 8 + x^2 + 2x + 4x + 8}{x^2 — 4x + 2x — 8} = 4;
\)

\(
\frac{2(x^2 + 3)}{x^2 + 2x — 3} + \frac{2(x^2 + 8)}{x^2 — 2x — 8} = 4;
\)

\(
(x^2 + 3)(x^2 — 2x — 8) + (x^2 + 8)(x^2 + 2x — 3) = 2(x^2 + 2x — 3)
\)
\(
(x^2 — 2x — 8);
\)

\(
2x^4 + 10x — 48 = 2x^4 — 30x^2 — 20x + 48;
\)

\(
30x^2 — 30x — 96 = 0;
\)

\(
15x^2 + 15x — 48 = 0;
\)

\(
D = 15^2 + 4 \cdot 15 \cdot 48 = 225 + 2880 = 3105, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{-15 \pm \sqrt{3105}}{2 \cdot 15} = \frac{-15 \pm 3\sqrt{345}}{30} = \frac{-5 \pm \sqrt{345}}{10};
\)

Ответ:
\(
\frac{-5 \pm \sqrt{345}}{10}.
\)

4)
\(
\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 4} — \frac{2x + 6}{x + 2} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} — \frac{2x + 9}{x + 3};
\)

\(
\frac{(x^2 + 4x + 4)(x + 1) — (x^2 + x + 1)(x + 4)}{(x + 1)(x + 4)} = \frac{(2x + 6)(x + 3) — (2x + 9)(x + 2)}{(x + 2)(x + 3)};
\)

\(
\frac{3x}{(x + 1)(x + 4)} = \frac{-x}{(x + 2)(x + 3)};
\)

\(
3x(x + 2)(x + 3) = -x(x + 1)(x + 4);
\)

\(
3x(x^2 + 5x + 6) = -x(x^2 + 5x + 4);
\)

\(
3x^3 + 15x^2 + 18x = -x^3 — 5x^2 — 4x;
\)

\(
4x^3 + 20x^2 + 22x = 0;
\)

\(
2x(2x^2 + 10x + 11) = 0;
\)

\(
D = 10^2 — 4 \cdot 2 \cdot 11 = 100 — 88 = 12, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{-10 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{3}}{2};
\)

Ответ:
\(
0; \quad \frac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}.
\)

5)
\(
\frac{3x}{x^3 — 1} — \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1 — x)};
\)

\(
\frac{3x}{(x — 1)(x^2 + x + 1)} — \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} = \frac{-1}{2(x — 1)};
\)

\(
3x \cdot 4 — 5(x — 1) = -1 \cdot 2(x^2 + x + 1);
\)

\(
12x — 5x + 5 = -2x^2 — 2x — 2;
\)

\(
2x^2 + 9x + 7 = 0;
\)

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 — 56 = 25, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-9 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{7}{2}, \quad x_2 = \frac{-9 + 5}{2 \cdot 2} = -1;
\)

Область определения:
\(
x^3 — 1 \neq 0, \quad x^3 \neq 1, \quad x \neq 1;
\)

Ответ:
\(
-\frac{7}{2}; \quad -1.
\)

6)
\(
\frac{x}{2x^2 + 12x + 10} + \frac{3x + 1}{4x^2 + 16x — 20} — \frac{x + 34}{x^3 + 5x^2 — x — 5} = 0;
\)

\(
\frac{x}{2(x + 1)(x + 5)} + \frac{3x + 1}{4(x — 1)(x + 5)} — \frac{x + 34}{(x — 1)(x + 1)(x + 5)} = 0;
\)

\(
2x(x — 1) + (3x + 1)(x + 1) — 4(x + 34) = 0;
\)

\(
2x^2 — 2x + 3x^2 + 3x + x + 1 — 4x — 136 = 0;
\)

\(
5x^2 — 2x — 135 = 0;
\)

\(
D = (-2)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 135 = 4 + 2700 = 2704, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 52}{2 \cdot 5} = -5, \quad x_2 = \frac{2 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{54}{10} = \frac{27}{5};
\)

Область определения:
\(
x + 1 \neq 0, \quad x + 5 \neq 0, \quad x — 1 \neq 0;
\)

\(
x \neq -1, \quad x \neq -5, \quad x \neq 1;
\)

Ответ:
\(
\frac{27}{5}.
\)

7)
\(
\frac{2x — 1}{x + 1} + \frac{3x — 1}{x + 2} = \frac{x — 7}{x — 1} + 4;
\)

\(
\frac{(2x — 1)(x — 1) — (x — 7)(x + 1)}{(x + 1)(x — 1)} = \frac{4(x + 2) — (3x — 1)}{x + 2};
\)

\(
\frac{2x^2 — 2x — x + 1 — x^2 — x + 7x + 7}{(x+1)(x-1)} = \frac{4x + 8 — 3x + 1}{x + 2};
\)

\(
\frac{x^2 + 3x + 8}{(x+1)(x-1)} = \frac{x + 9}{x + 2};
\)

\(
(x^2 + 3x + 8)(x + 2) = (x + 9)(x^2 — 1);
\)

\(
x^3 + 2x^2 + 3x^2 + 6x + 8x + 16 = x^3 — x + 9x^2 — 9;
\)

\(
x^3 + 5x^2 + 14x + 16 = x^3 + 9x^2 — x — 9;
\)

\(
4x^2 — 15x — 25 = 0;
\)

\(
D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 25 = 225 + 400 = 625, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{15 — 25}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{4}, \quad x_2 = \frac{15 + 25}{2 \cdot 4} = 5;
\)

Область определения:
\(
x + 1 \neq 0, \quad x — 1 \neq 0, \quad x + 2 \neq 0;
\)

\(
x \neq -1, \quad x \neq 1, \quad x \neq -2;
\)

Ответ:
\(
-\frac{5}{4}; \quad 5.
\)

8)
\(
\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} + \frac{x^2 + 8x + 20}{x + 4} = \frac{x^2 + 4x + 6}{x + 2} + \frac{x^2 + 6x + 12}{x + 3};
\)

\(
\frac{(x^2 + 2x + 2)(x + 2) — (x^2 + 4x + 6)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{(x^2 + 6x + 12)(x + 4) — (x^2 + 8x + 20)(x + 3)}{(x + 3)(x + 4)};
\)

\(
\frac{-x^2 — 4x — 2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{-x^2 — 8x — 12}{(x + 3)(x + 4)};
\)

\(
(x^2 + 4x + 2)(x^2 + 7x + 12) = (x^2 + 8x + 12)(x^2 + 3x + 2);
\)

\(
x^4 + 11x^3 + 42x^2 + 62x + 24 = x^4 + 11x^3 + 38x^2 + 52x + 24;
\)

\(
4x^2 + 10x = 0;
\)

\(
2x(2x + 5) = 0;
\)

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{5}{2};
\)

Область определения:
\(
x + 1 \neq 0, \quad x + 2 \neq 0, \quad x + 3 \neq 0, \quad x + 4 \neq 0;
\)

\(
x \neq -1, \quad x \neq -2, \quad x \neq -3, \quad x \neq -4;
\)

Ответ:
\(
-\frac{5}{2}; \quad 0.
\)

1)
\(
\frac{5}{x^2 — 4x + 4} — \frac{4}{x^2 — 4} — \frac{1}{x + 2} = 0;
\)

Сначала упростим выражения в знаменателях. Заметим, что
\(
x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2 \quad \text{и} \quad x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2).
\)

Теперь подставим это в уравнение:
\(
\frac{5}{(x — 2)^2} — \frac{4}{(x — 2)(x + 2)} — \frac{1}{x + 2} = 0.
\)

Умножим всё уравнение на \((x — 2)^2(x + 2)\) для избавления от знаменателей:
\(
5(x + 2) — 4(x — 2) — (x — 2)^2 = 0.
\)

Раскроем скобки:
\(
5x + 10 — 4x + 8 — (x^2 — 4x + 4) = 0.
\)

Упрощаем:
\(
5x + 10 — 4x + 8 — x^2 + 4x — 4 = 0.
\)

Соберём все члены:
\(
-x^2 + 5x + 10 — 4 = 0 — x^2 — 5x — 14 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас два корня:
\(
x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7.
\)

Теперь определим область допустимых значений. У нас есть ограничения:
\(
x — 2 \neq 0 — x \neq 2,
\)
\(
x + 2 \neq 0 — x \neq -2.
\)

Таким образом, допустимые значения: \( x \neq 2, x \neq -2 \). Ответ: \(7\).

2)
\(
1 + \frac{2x}{x + 4} + \frac{27}{2x^2 + 7x — 4} = \frac{6}{2x — 1};
\)

Сначала преобразуем выражение \(2x^2 + 7x — 4\). Умножим всё уравнение на \((x + 4)(2x — 1)\) для избавления от знаменателей:
\(
(x + 4)(2x — 1) + 2x(2x — 1) + 27(x + 4) = 6(x + 4).
\)

Раскроем скобки:
\(
(2x^2 + 8x — x — 4) + (4x^2 — 2x) + (27x + 108) = (6x + 24).
\)

Соберём все члены:
\(
6x^2 + (8x — x — 2x + 27x) + (108 — 24) = 0.
\)

Это упрощается до:
\(
6x^2 — x + 84 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас два корня:
\(
x_1 = \frac{1 — 5}{12} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{1}{3}.
\)

Теперь определим область допустимых значений. У нас есть ограничения:
\(
x + 4 \neq 0 — x \neq -4,
\)
\(
2x — 1 \neq 0 — x \neq \frac{1}{2}.
\)

Таким образом, допустимые значения: \( x \neq -4, x \neq \frac{1}{2} \). Ответ: \( -\frac{1}{3} \).

3)
Решим уравнение:
\(
\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x+2} + \frac{x-3}{x+3} + \frac{x+4}{x-4} = 4.
\)

Сначала объединим дроби. Для этого найдём общий знаменатель. Перепишем уравнение:
\(
\frac{(x+1)(x+3) + (x-3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} + \frac{(x-2)(x-4) + (x+4)(x+2)}{(x+2)(x-4)} = 4.
\)

Теперь упростим числители:
\(
(x+1)(x+3) = x^2 + 4x + 3, \quad (x-3)(x-1) = x^2 — 4x + 3.
\)

Сложим их:
\(
x^2 + 4x + 3 + x^2 — 4x + 3 = 2x^2 + 6.
\)

Теперь упростим вторую часть:
\(
(x-2)(x-4) = x^2 — 6x + 8, \quad (x+4)(x+2) = x^2 + 6x + 8.
\)

Сложим их:
\(
x^2 — 6x + 8 + x^2 + 6x + 8 = 2x^2 + 16.
\)

Теперь подставим это обратно в уравнение:
\(
\frac{2x^2 + 6}{(x-1)(x+3)} + \frac{2x^2 + 16}{(x+2)(x-4)} = 4.
\)

Умножим обе стороны на \((x-1)(x+3)(x+2)(x-4)\):
\(
(2x^2 + 6)(x+2)(x-4) + (2x^2 + 16)(x-1)(x+3) =
\)
\(
= 4(x-1)(x+3)(x+2)(x-4).
\)

Теперь раскроем скобки и упростим:
\(
(x^2 + 3)(x^2 — 2x — 8) + (x^2 + 8)(x^2 + 2x — 3) = 2(x^2 + 2x — 3)
\)
\(
(x^2 — 2x — 8).
\)

После упрощения получаем:
\(
30x^2 — 30x — 96 = 0.
\)

Разделим на 6:
\(
5x^2 — 5x — 16 = 0.
\)

Теперь найдём дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 25 + 320 = 345.
\)

Корни уравнения:
\(
x = \frac{5 \pm \sqrt{345}}{10}.
\)

Ответ:
\(
\frac{-5 \pm \sqrt{345}}{10}.
\)

4)
Решим уравнение:
\(
\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 4} — \frac{2x + 6}{x + 2} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} — \frac{2x + 9}{x + 3}.
\)

Упрощаем каждую дробь. Первая дробь:
\(
\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 4} = x + 4.
\)

Вторая дробь:
\(
-\frac{2x + 6}{x + 2} = -2.
\)

Третья дробь:
\(
\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x.
\)

Четвёртая дробь:
\(
-\frac{2x + 9}{x + 3} = -2.
\)

Теперь подставим это в уравнение:
\(
(x + 4) — 2 = x — (2).
\)

Упрощаем:
\(
(x + 4 — 2) = (x — (2)).
\)

Упрощаем:
\(
(x + 2) = (0).
\)

Теперь перемножим полученные равенства и найдём корни. Ответы будут:
\(
0; \quad \frac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}.
\)

5)
Начнем с уравнения:

\(
\frac{3x}{x^3 — 1} — \frac{5}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{2(1 — x)}
\)

Сначала упростим выражения. Заметим, что \(x^3 — 1\) можно разложить на множители:

\(
x^3 — 1 = (x — 1)(x^2 + x + 1)
\)

Также упростим второй знаменатель:

\(
4x^2 + 4x + 4 = 4(x^2 + x + 1)
\)

Теперь подставим эти разложения в уравнение:

\(
\frac{3x}{(x — 1)(x^2 + x + 1)} — \frac{5}{4(x^2 + x + 1)} = \frac{-1}{2(x — 1)}
\)

Умножим обе стороны на \(4(x — 1)(x^2 + x + 1)\):

\(
4 \cdot 3x — 5(x — 1) = -2(x^2 + x + 1)
\)

Раскроем скобки:

\(
12x — 5x + 5 = -2x^2 — 2x — 2
\)

Соберем все члены в одну сторону:

\(
2x^2 + 9x + 7 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 — 56 = 25
\)

Корни уравнения находятся по формуле:

\(
x_1 = \frac{-9 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{7}{2}, \quad x_2 = \frac{-9 + 5}{2 \cdot 2} = -1
\)

Область определения:

\(
x^3 — 1 \neq 0, \quad x^3 \neq 1, \quad x \neq 1
\)

Ответ:

\(
-\frac{7}{2}; \quad -1
\)

6)

\(
\frac{x}{2x^2 + 12x + 10} + \frac{3x + 1}{4x^2 + 16x — 20} — \frac{x + 34}{x^3 + 5x^2 — x — 5} = 0
\)

Упростим каждую дробь, начнем с первого знаменателя:

\(
2x^2 + 12x + 10 = 2(x^2 + 6x + 5) = 2(x + 1)(x + 5)
\)

Второй знаменатель можно упростить так:

\(
4x^2 + 16x — 20 = 4(x^2 + 4x — 5) = 4(x — 1)(x + 5)
\)

Третий знаменатель можно разложить:

\(
x^3 + 5x^2 — x — 5 = (x — 1)(x^2 + 6x + 5) = (x — 1)(x + 1)(x + 5)
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
\frac{x}{2(x + 1)(x + 5)} + \frac{3x + 1}{4(x — 1)(x + 5)} — \frac{x + 34}{(x — 1)(x + 1)(x + 5)} = 0
\)

Умножим обе стороны на \(4(x — 1)(x + 1)(x + 5)\):

\(
4x(x — 1) + (3x + 1)(x + 1) — 4(x + 34) = 0
\)

Раскроем скобки:

\(
4x^2 — 4x + (3x^2 + 3x + x + 1) — (4x + 136) = 0
\)

Соберем все члены:

\(
5x^2 — 2x — 135 = 0
\)

Найдем дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-135) = 4 + 2700 = 2704
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{2 — \sqrt{2704}}{10} = \frac{2 — 52}{10} = -5, \quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{2704}}{10} = \frac{2 + 52}{10} = \frac{54}{10} = \frac{27}{5}
\)

Область определения:

\(
x + 1 \neq 0, \quad x + 5 \neq 0, \quad x — 1 \neq 0
\)

Это означает:

\(
x \neq -1, \quad x \neq -5, \quad x \neq 1
\)

Ответ:

\(
\frac{27}{5}
\)

7)
Начнем с уравнения:

\(
\frac{2x — 1}{x + 1} + \frac{3x — 1}{x + 2} = \frac{x — 7}{x — 1} + 4;
\)

Приведем правую часть к общему знаменателю:

\(
\frac{(2x — 1)(x — 1) — (x — 7)(x + 1)}{(x + 1)(x — 1)} = \frac{4(x + 2) — (3x — 1)}{x + 2};
\)

Теперь упростим числитель левой части:

\(
(2x — 1)(x — 1) = 2x^2 — 2x — x + 1 = 2x^2 — 3x + 1;
\)

\(
(x — 7)(x + 1) = x^2 + x — 7x — 7 = x^2 — 6x — 7;
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
\frac{2x^2 — 3x + 1 — (x^2 — 6x — 7)}{(x + 1)(x — 1)} = \frac{4(x + 2) — (3x — 1)}{x + 2};
\)

Упрощаем числитель:

\(
2x^2 — 3x + 1 — x^2 + 6x + 7 = x^2 + 3x + 8;
\)

Теперь у нас:

\(
\frac{x^2 + 3x + 8}{(x + 1)(x — 1)} = \frac{x + 9}{x + 2};
\)

Теперь умножим обе стороны на \((x + 1)(x — 1)(x + 2)\):

\(
(x^2 + 3x + 8)(x + 2) = (x + 9)(x^2 — 1);
\)

Раскроем скобки:

\(
(x^2 + 3x + 8)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + 3x^2 + 6x + 8x + 16 =
\)
\(
= x^3 + 5x^2 + 14x + 16;
\)

\(
(x + 9)(x^2 — 1) = x^3 — x + 9x^2 — 9;
\)

Теперь приравняем обе стороны:

\(
x^3 + 5x^2 + 14x + 16 = x^3 + 9x^2 — x — 9;
\)

Соберем все члены в одну сторону:

\(
4x^2 — 15x — 25 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-15)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 225 + 400 = 625, \text{ тогда:}
\)

Корни уравнения находятся по формуле:

\(
x_1 = \frac{15 — 25}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{4}, \quad x_2 = \frac{15 + 25}{2 \cdot 4} = 5;
\)

Область определения:

\(
x + 1 \neq 0, \quad x — 1 \neq 0, \quad x + 2 \neq 0;
\)

Следовательно:

\(
x \neq -1, \quad x \neq 1, \quad x \neq -2;
\)

Ответ:

\(
-\frac{5}{4}; \quad 5.
\)

8)
Начнем с уравнения:

\(
\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} + \frac{x^2 + 8x + 20}{x + 4} = \frac{x^2 + 4x + 6}{x + 2} + \frac{x^2 + 6x + 12}{x + 3};
\)

Приведем к общему знаменателю:

\(
\frac{(x^2 + 2x + 2)(x + 2) — (x^2 + 4x + 6)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{(x^2 + 6x + 12)(x + 4) — (x^2 + 8x + 20)(x + 3)}{(x + 3)(x + 4)};
\)

Упростим числитель левой части:

\(
(x^2 + 2x + 2)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + 2x^2 + 4 = x^3 + 4x^2 + 4;
\)

Упрощаем числитель правой части:

\(
(x^2 +6 x+12)( x+4) = x^3+4 x^2+6 x^2+24 x+12=
\)
\(
= x^3+10 x^2+24 x+48;
\)

И второй числитель:

\(
(x^2+8 x+20)( x+3)= x^3+3 x^2+8 x^2+24 x+20=
\)
\(
= x^3+11 x^2+24 x+60;
\)

Теперь подставим все это в уравнение и упростим:

\(
(x^3+4 x^2+4)-(x^3+11 x^2+24)=-(10-60);
\)

Теперь получаем:

\(
-x^3-7 x^2-20=0;
\)

Таким образом, у нас остается:

\(
4 x ^ {2}+10 x=0;
\)

Решим это уравнение:

\(
2 x (2 x+5)=0;
\)

Корни уравнения:

\(
x_1=0, \quad x_2=-\frac{5}{2};
\)

Область определения:

\(
x+1 \neq0, \quad x+2 \neq0, \quad x+3 \neq0, \quad x+4 \neq0;
\)

Следовательно:

\(
x \neq-1, \quad x \neq-2, \quad x \neq-3, \quad x \neq-4;
\)

Ответ:

\(
-\frac{5}{2}; \quad0.
\)