ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.121 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \((x^2 + 2x)^2 — (x + 1)^2 = 55;\)

2) \((x^2 + x + 4)^2 + 8x(x^2 + x + 4) + 15x^2 = 0;\)

3) \(x^2 + \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x} — x = 4;\)

4) \(\left(\frac{x + 1}{x — 2}\right)^2 + \frac{x + 1}{x — 4} = 12 \cdot \left(\frac{x — 2}{x — 4}\right)^2;\)

5) \(\frac{4x}{x^2 + x + 3} + \frac{5x}{x^2 — 5x + 3} = -\frac{3}{2};\)

6) \(x^2 + \frac{25x^2}{(x + 5)^2} = 11.\)

1)
\(
(x^2 + 2x)^2 — (x + 1)^2 = 55;
\)

\(
((x + 1)^2 — 1)^2 — (x + 1)^2 = 55;
\)

Пусть \(y = (x + 1)^2\), тогда:
\(
(y — 1)^2 — y = 55;
\)

\(
y^2 — 2y + 1 — y = 55;
\)

\(
y^2 — 3y — 54 = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 54 = 9 + 216 = 225, \text{ тогда:}
\)

\(
y_1 = \frac{3 — 15}{2} = -6, \quad y_2 = \frac{3 + 15}{2} = 9;
\)

Вернём замену:
\(
(x + 1)^2 = 9;
\)

\(
x + 1 = -3, \quad x + 1 = 3;
\)

\(
x_1 = -4, \quad x_2 = 2;
\)

Ответ:
\(
-4; \quad 2.
\)

2)
\(
(x^2 + x + 4)^2 + 8x(x^2 + x + 4) + 15x^2 = 0;
\)

\(
\frac{(x^2 + x + 4)^2}{x^2} + \frac{8(x^2 + x + 4)}{x} + 15 = 0;
\)

Пусть
\(
y = \frac{x^2 + x + 4}{x},
\)
тогда:
\(
y^2 + 8y + 15 = 0;
\)

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4, \text{ тогда:}
\)

\(
y_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3;
\)

Первое значение:
\(
\frac{x^2 + x + 4}{x} = -5;
\)

\(
x^2 + x + 4 = -5x;
\)

\(
x^2 + 6x + 4 = 0;
\)

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 4 = 36 — 16 = 20, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5};
\)

Второе значение:
\(
\frac{x^2 + x + 4}{x} = -3;
\)

\(
x^2 + x + 4 = -3x;
\)

\(
x^2 + 4x + 4 = 0;
\)

\(
(x + 2)^2 = 0;
\)

\(
x = -2;
\)

Ответ:
\(
-2; \quad -3 \pm \sqrt{5}.
\)

3)
\(
(x — 2)^4 + (x + 2)^4 = 82;
\)

\(
(x^2 — 4x + 4)^2 + (x^2 + 4x + 4)^2 = 82;
\)

\(
(x^2 — 4x)^2 + 8(x^2 — 4x) + 16 + (x^2 + 4x)^2 + 8(x^2 + 4x) + 16 = 82;
\)

\(
x^4 — 8x^3 + 16x^2 + 16x^2 + 32 + x^4 + 8x^3 + 16x^2 — 82 = 0;
\)

\(
2x^4 + 48x^2 — 50 = 0;
\)

\(
x^4 + 24x^2 — 25 = 0;
\)

\(
D = 24^2 + 4 \cdot 25 = 576 + 100 = 676, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1^2 = \frac{-24 — 26}{2} = -25, \quad x_2^2 = \frac{-24 + 26}{2} = 1;
\)

\(
x = \pm \sqrt{1} = \pm 1;
\)

Ответ:
\(
-1; \quad 1.
\)

4)
\(
x^2 + \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x} — x = 4;
\)

\(
\left(x^2 — 4x \cdot \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}\right) — \left(x — \frac{2}{x}\right) + 4 = 4;
\)

\(
\left(x — \frac{2}{x}\right)^2 — \left(x — \frac{2}{x}\right) = 0;
\)

\(
\left(x — \frac{2}{x}\right)\left(x — \frac{2}{x} — 1\right) = 0;
\)

Первое значение:
\(
x — \frac{2}{x} = 0;
\)

\(
x^2 — 2 = 0;
\)

\(
x^2 = 2;
\)

\(
x = \pm \sqrt{2};
\)

Второе значение:*
\(
x — \frac{2}{x} — 1 = 0;
\)

\(
x^2 — x — 2 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

Ответ:
\(
-\sqrt{2}; \quad -1; \quad \sqrt{2}; \quad 2.
\)

5)
\(
\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 + \frac{x+1}{x-4} = 12 \cdot \left(\frac{x-2}{x-4}\right)^2;
\)

Пусть
\(
a = \frac{x+1}{x-2} \quad \text{и} \quad b = \frac{x-2}{x-4},
\)

тогда:
\(
a^2 + ab = 12 b^2;
\)

\(
a^2 + ab — 12 b^2 = 0;
\)

\(
D = b^2 + 4 \cdot 12 b^2 = b^2 + 48 b^2 = 49 b^2, \text{ тогда:}
\)

\(
a_1 = \frac{-b — 7b}{2} = -4b, \quad a_2 = \frac{-b + 7b}{2} = 3b;
\)

Первое значение:
\(
\frac{x+1}{x-2} = \frac{-4(x-2)}{x-4};
\)

\(
(x+1)(x-4) = -4(x-2)^2;
\)

\(
x^2 — 4x + x — 4 = -4x^2 + 16x — 16;
\)

\(
5x^2 — 19x + 12 = 0;
\)

\(
D = 19^2 — 4 \cdot 5 \cdot 12 = 361 — 240 = 121, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{19 — 11}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{19 + 11}{2 \cdot 5} = 3;
\)

Второе значение:
\(
\frac{x+1}{x-2} = \frac{3(x-2)}{x-4};
\)

\(
(x+1)(x-4) = 3(x-2)^2;
\)

\(
x^2 — 4x + x — 4 = 3x^2 — 12x + 12;
\)

\(
2x^2 — 8x + 16 = 0;
\)

\(
x^2 — 4x + 8 = 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 8 = 16 — 32 = -16;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Ответ:
\(
\frac{4}{5}; \quad 3.
\)

6)
\(
\frac{4x}{x^2 + x + 3} + \frac{5x}{x^2 — 5x + 3} = -\frac{3}{2};
\)

\(
\frac{4}{x+1 + \frac{3}{x}} + \frac{5}{x-5 + \frac{3}{x}} = -\frac{3}{2};
\)

Пусть
\(
y = x + \frac{3}{x},
\)

тогда:
\(
4 \cdot 2(y-5) + 5 \cdot 2(y+1) = -3(y+1)(y-5);
\)

\(
8y — 40 + 10y + 10 = -3y^2 + 15y — 3y + 15;
\)

\(
3y^2 + 6y — 45 = 0;
\)

\(
y^2 + 2y — 15 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \text{ тогда:}
\)

\(
y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3;
\)

Первое значение:
\(
x + \frac{3}{x} = -5;
\)

\(
x^2 + 5x + 3 = 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 3 = 25 — 12 = 13, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2};
\)

Второе значение:
\(
x + \frac{3}{x} = 3;
\)

\(
x^2 — 3x + 3 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Ответ:
\(
\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}.
\)

7)
\(
x^2 + \frac{25x^2}{(x+5)^2} = 11;
\)

\(
\left(x^2 + \frac{25x^2}{(x+5)^2}\right) — 2x \cdot \frac{5x}{x+5} + 2x \cdot \frac{5x}{x+5} = 11;
\)

\(
\left(\frac{5x}{x+5}\right)^2 + \frac{10x^2}{x+5} — 11 = 0;
\)

\(
\left(\frac{x(x+5) — 5x}{x+5}\right)^2 + \frac{10x^2}{x+5} — 11 = 0;
\)

\(
\left(\frac{x^2}{x+5}\right)^2 + 10 \cdot \frac{x^2}{x+5} — 11 = 0;
\)

Пусть
\(
y = \frac{x^2}{x+5},
\)
тогда:
\(
y^2 + 10y — 11 = 0;
\)

\(
D = 10^2 + 4 \cdot 11 = 100 + 44 = 144, \text{ тогда:}
\)

\(
y_1 = \frac{-10 — 12}{2} = -11 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-10 + 12}{2} = 1;
\)

Первое значение:
\(
\frac{x^2}{x+5} = -11;
\)

\(
x^2 = -11x — 55;
\)

\(
x^2 + 11x + 55 = 0;
\)

\(
D = 11^2 — 4 \cdot 55 = 121 — 220 = -99;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
\frac{x^2}{x+5} = 1;
\)

\(
x^2 = x + 5;
\)

\(
x^2 — x — 5 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 5 = 1 + 20 = 21, \text{ тогда:}
\)

\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}.
\)

Ответ:
\(
\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}.
\)

\(
1)(x^2 + 2x)^2 — (x + 1)^2 = 55;
\)

Сначала упростим левую часть уравнения. Запишем \((x^2 + 2x)\) как \(((x + 1)^2 — 1)\):

\(
((x + 1)^2 — 1)^2 — (x + 1)^2 = 55;
\)

Теперь введем замену:

Пусть \(y = (x + 1)^2\). Тогда уравнение принимает вид:

\(
(y — 1)^2 — y = 55;
\)

Раскроем скобки:

\(
(y — 1)^2 = y^2 — 2y + 1;
\)

Подставим это в уравнение:

\(
y^2 — 2y + 1 — y = 55;
\)

Соберем все члены в одном уравнении:

\(
y^2 — 3y — 54 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
y_1 = \frac{3 — \sqrt{225}}{2} = \frac{3 — 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6,
\)

\(
y_2 = \frac{3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9.
\)

Теперь вернемся к нашей замене \(y = (x + 1)^2\). Рассмотрим каждый случай:

1. Для \(y_1 = -6\):

\(
(x + 1)^2 = -6.
\)

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

2. Для \(y_2 = 9\):

\(
(x + 1)^2 = 9.
\)

Теперь извлечем квадратный корень:

\(
x + 1 = \pm 3.
\)

Таким образом, у нас есть два случая:

— \(x + 1 = 3\) приводит к \(x = 3 — 1 = 2\),
— \(x + 1 = -3\) приводит к \(x = -3 — 1 = -4\).

Ответ:

\(
x_1 = -4, \quad x_2 = 2.
\)

\(
2) (x^2 + x + 4)^2 + 8x(x^2 + x + 4) + 15x^2 = 0;
\)

Для удобства преобразуем уравнение, разделив все его части на \(x^2\) (при условии, что \(x \neq 0\)):

\(
\frac{(x^2 + x + 4)^2}{x^2} + \frac{8(x^2 + x + 4)}{x} + 15 = 0;
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = \frac{x^2 + x + 4}{x}.
\)

Тогда уравнение можно записать как:

\(
y^2 + 8y + 15 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 15 = 64 — 60 = 4.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
y_1 = \frac{-8 — \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 — 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5,
\)

\(
y_2 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
\)

Теперь рассмотрим первое значение:

\(
\frac{x^2 + x + 4}{x} = -5;
\)

Умножим обе стороны на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)):

\(
x^2 + x + 4 = -5x;
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 + 6x + 4 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант этого уравнения:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 4 = 36 — 16 = 20.
\)

Так как дискриминант положителен, найдем корни:

\(
x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}.
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
\frac{x^2 + x + 4}{x} = -3;
\)

Умножим обе стороны на \(x\):

\(
x^2 + x + 4 = -3x;
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 + 4x + 4 = 0;
\)

Это уравнение можно представить в виде полного квадрата:

\(
(x + 2)^2 = 0.
\)

Таким образом, мы находим:

\(
x = -2.
\)

Теперь соберем все найденные значения. Ответом будут:

\(
-2; \quad -3 \pm \sqrt{5}.
\)

\(
3)(x — 2)^4 + (x + 2)^4 = 82;
\)

Сначала упростим левую часть уравнения. Запишем \((x — 2)^4\) и \((x + 2)^4\) в разложенном виде:

\(
(x^2 — 4x + 4)^2 + (x^2 + 4x + 4)^2 = 82;
\)

Теперь обозначим \(z = x^2 — 4x\). Тогда \((x + 2)^4\) можно переписать как:

\(
(z + 8)^2,
\)

где \(z + 8 = x^2 + 4x + 4\). Таким образом, уравнение становится:

\(
z^2 + (z + 8)^2 = 82.
\)

Раскроем скобки:

\(
z^2 + (z^2 + 16z + 64) = 82;
\)

Соберем все члены:

\(
2z^2 + 16z + 64 — 82 = 0;
\)

Упростим уравнение:

\(
2z^2 + 16z — 18 = 0;
\)

Разделим на 2:

\(
z^2 + 8z — 9 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
z_1 = \frac{-8 — \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 — 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9,
\)

\(
z_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\)

Теперь вернемся к переменной \(x\). Рассмотрим первое значение:

\(
z_1 = -9,
\)

что соответствует:

\(
x^2 — 4x = -9.
\)

Перепишем уравнение:

\(
x^2 — 4x + 9 = 0.
\)

Найдем дискриминант:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 — 36 = -20,
\)

что означает, что корней нет.

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
z_2 = 1,
\)

что соответствует:

\(
x^2 — 4x = 1.
\)

Перепишем уравнение:

\(
x^2 — 4x — 1 = 0.
\)

Найдем дискриминант:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20.
\)

Теперь найдем корни:

\(
x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}.
\)

Таким образом, ответом будут корни:

\(
-1; \quad 1.
\)

\(
4) x^2 + \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x} — x = 4;
\)

Для удобства преобразуем уравнение. Переносим 4 на левую сторону:

\(
x^2 + \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x} — x — 4 = 0;
\)

Теперь упростим его. Объединим термины:

\(
\left(x^2 — 4\right) + \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x} — x = 0.
\)

Запишем уравнение в виде:

\(
\left(x^2 — 4x \cdot \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}\right) — \left(x — \frac{2}{x}\right) + 4 = 0;
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = x — \frac{2}{x}.
\)

Тогда уравнение принимает вид:

\(
(y)^2 — y = 0;
\)

Факторизуем его:

\(
y(y — 1) = 0.
\)

Теперь найдем корни. Первый корень:

\(
y = 0.
\)

Подставим обратно значение \(y\):

\(
x — \frac{2}{x} = 0.
\)

Умножим обе стороны на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)):

\(
x^2 — 2 = 0.
\)

Решим это уравнение:

\(
x^2 = 2,
\)

откуда получаем:

\(
x = \pm \sqrt{2}.
\)

Теперь рассмотрим второй корень:

\(
y — 1 = 0.
\)

Подставим обратно значение \(y\):

\(
x — \frac{2}{x} — 1 = 0.
\)

Умножим обе стороны на \(x\):

\(
x^2 — x — 2 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\)

Теперь найдем корни:

\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1,
\)

\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Теперь соберем все найденные значения:

Ответ:

\(
-\sqrt{2}; \quad -1; \quad \sqrt{2}; \quad 2.
\)

5) \(
\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2 + \frac{x+1}{x-4} = 12 \cdot \left(\frac{x-2}{x-4}\right)^2;
\)

Для удобства введем замены:

Пусть

\(
a = \frac{x+1}{x-2} \quad \text{и} \quad b = \frac{x-2}{x-4}.
\)

Тогда уравнение можно переписать в виде:

\(
a^2 + ab = 12b^2.
\)

Перепишем это уравнение:

\(
a^2 + ab — 12b^2 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения относительно \(a\):

\(
D = b^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12b^2) = b^2 + 48b^2 = 49b^2.
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

\(
a_1 = \frac{-b — 7b}{2} = -4b, \quad a_2 = \frac{-b + 7b}{2} = 3b.
\)

Теперь рассмотрим первое значение:

\(
\frac{x+1}{x-2} = -4 \cdot \frac{x-2}{x-4}.
\)

Умножим обе стороны на \(x-4\) (при условии, что \(x \neq 4\)):

\(
(x+1)(x-4) = -4(x-2)^2.
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 — 4x + x — 4 = -4(x^2 — 4x + 4).
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 3x — 4 = -4x^2 + 16x — 16.
\)

Переносим все члены на одну сторону:

\(
5x^2 — 19x + 12 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = (-19)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 12 = 361 — 240 = 121.
\)

Так как дискриминант положителен, найдем корни:

\(
x_1 = \frac{19 — 11}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5},
\)

\(
x_2 = \frac{19 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3.
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
\frac{x+1}{x-2} = 3 \cdot \frac{x-2}{x-4}.
\)

Умножим обе стороны на \(x-4\):

\(
(x+1)(x-4) = 3(x-2)^2.
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 — 4x + x — 4 = 3(x^2 — 4x + 4).
\)

Упрощаем:

\(
x^2 — 3x — 4 = 3x^2 — 12x + 12.
\)

Переносим все члены на одну сторону:

\(
2x^2 — 8x + 16 = 0.
\)

Делим на 2:

\(
x^2 — 4x + 8 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 — 32 = -16.
\)

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней, то есть:

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset.
\)

Таким образом, ответ будет:

\(
x = \frac{4}{5}; \quad x = 3.
\)

\(
6) \frac{4x}{x^2 + x + 3} + \frac{5x}{x^2 — 5x + 3} = -\frac{3}{2};
\)

Для удобства преобразуем дроби. Запишем уравнение в виде:

\(
\frac{4}{x + 1 + \frac{3}{x}} + \frac{5}{x — 5 + \frac{3}{x}} = -\frac{3}{2};
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = x + \frac{3}{x}.
\)

Тогда преобразуем уравнение:

\(
4 \cdot 2(y — 5) + 5 \cdot 2(y + 1) = -3(y + 1)(y — 5);
\)

Упростим это уравнение:

\(
8y — 40 + 10y + 10 = -3y^2 + 15y — 3y + 15;
\)

Соберем все члены в одном уравнении:

\(
3y^2 + 6y — 45 = 0;
\)

Теперь упростим его:

\(
y^2 + 2y — 15 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64, \text{ тогда:}
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
y_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5,
\)

\(
y_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3.
\)

Теперь рассмотрим первое значение:

\(
x + \frac{3}{x} = -5.
\)

Умножим обе стороны на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)):

\(
x^2 + 3 = -5x.
\)

Перепишем уравнение:

\(
x^2 + 5x + 3 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 — 12 = 13, \text{ тогда:}
\)

Так как дискриминант положителен, найдем корни:

\(
x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}.
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
x + \frac{3}{x} = 3.
\)

Умножим обе стороны на \(x\):

\(
x^2 + 3 = 3x.
\)

Перепишем уравнение:

\(
x^2 — 3x + 3 = 0;
\)

Найдем дискриминант \(D\):

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 — 12 = -3;
\)

Так как дискриминант отрицателен, это означает, что у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, итоговый ответ будет:

\(
x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}.
\)

7) \(
x^2 + \frac{25x^2}{(x+5)^2} = 11;
\)

Для удобства преобразуем его. Запишем уравнение в виде:

\(
\left(x^2 + \frac{25x^2}{(x+5)^2}\right) — 2x \cdot \frac{5x}{x+5} + 2x \cdot \frac{5x}{x+5} = 11;
\)

Теперь упростим его:

\(
\left(\frac{5x}{x+5}\right)^2 + \frac{10x^2}{x+5} — 11 = 0;
\)

Далее преобразуем:

\(
\left(\frac{x(x+5) — 5x}{x+5}\right)^2 + \frac{10x^2}{x+5} — 11 = 0;
\)

Упростим это уравнение:

\(
\left(\frac{x^2}{x+5}\right)^2 + 10 \cdot \frac{x^2}{x+5} — 11 = 0;
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = \frac{x^2}{x+5}.
\)

Тогда уравнение принимает вид:

\(
y^2 + 10y — 11 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) данного квадратного уравнения:

\(
D = 10^2 — 4 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144, \text{ тогда:}
\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
y_1 = \frac{-10 — 12}{2} = \frac{-22}{2} = -11,
\)

\(
y_2 = \frac{-10 + 12}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\)

Теперь рассмотрим первое значение:

\(
\frac{x^2}{x+5} = -11.
\)

Умножим обе стороны на \(x + 5\):

\(
x^2 = -11(x + 5).
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 = -11x — 55.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 + 11x + 55 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант этого уравнения:

\(
D = 11^2 — 4 \cdot 55 = 121 — 220 = -99.
\)

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней, то есть:

\(
x \in \emptyset.
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
\frac{x^2}{x+5} = 1.
\)

Умножим обе стороны на \(x + 5\):

\(
x^2 = x + 5.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x^2 — x — 5 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант этого уравнения:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21, \text{ тогда:}
\)

Так как дискриминант положителен, найдем корни:

\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}.
\)