ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.122 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
(x^2 — 5x + 7)^2 — (x — 2)(x — 3) = 1;
\)

2)
\(
5(x^2 + 2x)^2 — 11(x^2 + 2x)(x^2 + x + 1) + 6(x^2 + x + 1)^2 = 0;
\)

3)
\(
x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 36 = 0;
\)

4)
\(
(x^2 + x + 1)^2 = x^2(3x^2 + x + 1);
\)

5)
\(
x^2 + \frac{9x^2}{(x + 3)^2} = 16.
\)

1)
\(
(x^2 — 5x + 7)^2 — (x — 2)(x — 3) = 1;
\)

\(
(x^2 — 5x + 7)^2 — (x^2 — 5x + 6) = 1;
\)

Пусть
\(
y = x^2 — 5x + 7,
\) тогда:
\(
y^2 — (y — 1) = 1;
\)

\(
y^2 — y + 1 = 1;
\)

\(
y^2 — y = 0;
\)

\(
y(y — 1) = 0;
\)

\(
y_1 = 0, \quad y_2 = 1;
\)

Первое значение:
\(
x^2 — 5x + 7 = 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 7 = 25 — 28 = -3;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Второе значение:
\(
x^2 — 5x + 7 = 1;
\)

\(
x^2 — 5x + 6 = 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\)

Ответ:
\(
2; \quad 3.
\)

2)
\(
5(x^2 + 2x)^2 — 11(x^2 + 2x)(x^2 + x + 1) + 6(x^2 + x + 1)^2 = 0;
\)

\(
5 \frac{(x^2 + 2x)^2}{(x^2 + x + 1)^2} — 11 \frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} + 6 = 0;
\)

Пусть
\(
y = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1},
\) тогда:
\(
5y^2 — 11y + 6 = 0;
\)

\(
D = 11^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 — 120 = 1,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{11 — 1}{2 \cdot 5} = 1,
\)

\(
y_2 = \frac{11 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.
\)

Первое значение:

\(
\frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} = 1;
\)

\(
x^2 + 2x = x^2 + x + 1;
\)

\(
x = 1;
\)

Второе значение:

\(
\frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} = \frac{6}{5};
\)

\(
5(x^2 + 2x) = 6(x^2 + x + 1);
\)

\(
5x^2 + 10x = 6x^2 + 6x + 6;
\)

\(
x^2 — 4x + 6 = 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 6 = 16 — 24 = -8;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Ответ:
\(
1.
\)

3)
\(
x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 36 = 0;
\)

\(
(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) + 36 = 0;
\)

Пусть
\(
y = x^2 + 8x,
\) тогда:
\(
y(y + 15) + 36 = 0;
\)

\(
y^2 + 15y + 36 = 0;
\)

\(
D = 15^2 — 4 \cdot 36 = 225 — 144 = 81,
\)

тогда:

\(
y_1 = \frac{-15 — 9}{2} = -12, \quad y_2 = \frac{-15 + 9}{2} = -3;
\)

Первое значение:

\(
x^2 + 8x = -12;
\)

\(
x^2 + 8x + 12 = 0;
\)

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-8 — 4}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-8 + 4}{2} = -2;
\)

Второе значение:

\(
x^2 + 8x = -3;
\)

\(
x^2 + 8x + 3 = 0;
\)

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 3 = 64 — 12 = 52,
\)

тогда:

\(
x = \frac{-8 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -4 \pm \sqrt{13};
\)

Ответ:
\(
-6; \quad -2; \quad -4 \pm \sqrt{13}.
\)

4)
\(
(x^2 + x + 1)^2 = x^2 (3x^2 + x + 1);
\)

Пусть
\(
a = x^2 + x + 1, \quad b = x^2,
\) тогда:

\(
a^2 = b(2b + a);
\)

\(
a^2 = 2b^2 + ab;
\)

\(
a^2 — ab — 2b^2 = 0;
\)

\(
D = b^2 + 4 \cdot 2 b^2 = b^2 + 8 b^2 = 9 b^2,
\)

тогда:

\(
a_1 = \frac{b — 3b}{2} = -b, \quad a_2 = \frac{b + 3b}{2} = 2b;
\)

Первое значение:

\(
x^2 + x + 1 = -x^2;
\)

\(
2x^2 + x + 1 = 0;
\)

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Второе значение:

\(
x^2 + x + 1 = 2x^2;
\)

\(
x^2 — x — 1 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5,
\)

тогда:

\(
x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\)

Ответ:
\(
\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\)

5)
\(
x^2 + \frac{9x^2}{(x + 3)^2} = 16;
\)

\(
\left(x^2 + \frac{9x^2}{(x + 3)^2} — 2x \cdot \frac{3x}{x + 3}\right) + 2x \cdot \frac{3x}{x + 3} = 16;
\)

\(
\left(x — \frac{3x}{x + 3}\right)^2 + \frac{6x^2}{x + 3} — 16 = 0;
\)

\(
\left(\frac{x(x + 3) — 3x}{x + 3}\right)^2 + \frac{6x^2}{x + 3} — 16 = 0;
\)

\(
\left(\frac{x^2}{x + 3}\right)^2 + 6 \cdot \frac{x^2}{x + 3} — 16 = 0;
\)

Пусть
\(
y = \frac{x^2}{x + 3},
\) тогда:

\(
y^2 + 6y — 16 = 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100,
\)

тогда:

\(
y_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -8, \quad y_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2;
\)

Первое значение:

\(
\frac{x^2}{x + 3} = -8;
\)

\(
x^2 = -8x — 24;
\)

\(
x^2 + 8x + 24 = 0;
\)

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 24 = 64 — 96 = -32;
\)

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Второе значение:

\(
\frac{x^2}{x + 3} = 2;
\)

\(
x^2 = 2x + 6;
\)

\(
x^2 — 2x — 6 = 0;
\)

\(
D = (-2)^2 + 4 \cdot 6 = 4 + 24 = 28,
\)

тогда:

\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7};
\)

Ответ:
\(
1 \pm \sqrt{7}.
\)

1) \(
5(x^2 + 2x)^2 — 11(x^2 + 2x)(x^2 + x + 1) + 6(x^2 + x + 1)^2 = 0;
\)

Для удобства, можно разделить все члены на \((x^2 + x + 1)^2\):

\(
5 \frac{(x^2 + 2x)^2}{(x^2 + x + 1)^2} — 11 \frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} + 6 = 0;
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1},
\)

тогда уравнение принимает вид:

\(
5y^2 — 11y + 6 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) для этого квадратного уравнения:

\(
D = 11^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 — 120 = 1,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

Первый корень:

\(
y_1 = \frac{11 — 1}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1,
\)

Второй корень:

\(
y_2 = \frac{11 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.
\)

Теперь рассмотрим каждое значение \(y\) по отдельности.

Первое значение:

\(
\frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} = 1;
\)

Умножим обе стороны на \(x^2 + x + 1\):

\(
x^2 + 2x = x^2 + x + 1;
\)

Упростим уравнение:

\(
2x — x — 1 = 0;
\)

Таким образом, получаем:

\(
x = 1.
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
\frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} = \frac{6}{5};
\)

Умножим обе стороны на \(5(x^2 + x + 1)\):

\(
5(x^2 + 2x) = 6(x^2 + x + 1);
\)

Раскроем скобки:

\(
5x^2 + 10x = 6x^2 + 6x + 6;
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
5x^2 + 10x — 6x^2 — 6x — 6 = 0;
\)

Упрощаем уравнение:

\(
-x^2 + 4x — 6 = 0,
\)

или

\(
x^2 — 4x + 6 = 0.
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) для этого уравнения:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 6 = 16 — 24 = -8;
\)

Так как дискриминант меньше нуля:

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Это означает, что у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ:

\(
1.
\)

2) \(
5(x^2 + 2x)^2 — 11(x^2 + 2x)(x^2 + x + 1) + 6(x^2 + x + 1)^2 = 0;
\)

Для удобства, можно разделить все члены на \((x^2 + x + 1)^2\):

\(
5 \frac{(x^2 + 2x)^2}{(x^2 + x + 1)^2} — 11 \frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} + 6 = 0;
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1},
\)

тогда уравнение принимает вид:

\(
5y^2 — 11y + 6 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) для этого квадратного уравнения:

\(
D = 11^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 — 120 = 1,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

Первый корень:

\(
y_1 = \frac{11 — 1}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1,
\)

Второй корень:

\(
y_2 = \frac{11 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.
\)

Теперь рассмотрим каждое значение \(y\) по отдельности.

Первое значение:

\(
\frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} = 1;
\)

Умножим обе стороны на \(x^2 + x + 1\):

\(
x^2 + 2x = x^2 + x + 1;
\)

Теперь упростим это уравнение:

\(
x^2 + 2x — x^2 — x — 1 = 0;
\)

Сокращаем \(x^2\):

\(
x — 1 = 0;
\)

Таким образом, находим:

\(
x = 1.
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
\frac{x^2 + 2x}{x^2 + x + 1} = \frac{6}{5};
\)

Умножим обе стороны на \(x^2 + x + 1\):

\(
5(x^2 + 2x) = 6(x^2 + x + 1);
\)

Раскроем скобки:

\(
5x^2 + 10x = 6x^2 + 6x + 6;
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
5x^2 + 10x — 6x^2 — 6x — 6 = 0;
\)

Упрощаем:

\(
-x^2 + 4x — 6 = 0;
\)

Умножим на -1 для удобства:

\(
x^2 — 4x + 6 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\) для этого уравнения:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 — 24 = -8;
\)

Так как дискриминант меньше нуля:

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Таким образом, из двух значений для \(y\) только одно дает действительное решение.

Ответ:

\(
1.
\)

2) \(
x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 36 = 0;
\)

Сначала упростим его:

\(
(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) + 36 = 0;
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = x^2 + 8x,
\)

тогда уравнение можно переписать как:

\(
y(y + 15) + 36 = 0;
\)

Раскроем скобки:

\(
y^2 + 15y + 36 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = 15^2 — 4 \cdot 36 = 225 — 144 = 81,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

Первый корень:

\(
y_1 = \frac{-15 — 9}{2} = \frac{-24}{2} = -12,
\)

Второй корень:

\(
y_2 = \frac{-15 + 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
\)

Теперь рассмотрим каждое значение \(y\) по отдельности.

Первое значение:

\(
x^2 + 8x = -12;
\)

Переносим -12 в левую часть:

\(
x^2 + 8x + 12 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

Первый корень:

\(
x_1 = \frac{-8 — 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6,
\)

Второй корень:

\(
x_2 = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2.
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
x^2 + 8x = -3;
\)

Переносим -3 в левую часть:

\(
x^2 + 8x + 3 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 3 = 64 — 12 = 52,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
x = \frac{-8 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -4 \pm \sqrt{13}.
\)

Таким образом, все корни уравнения:

Ответ:

\(
-6; \quad -2; \quad -4 \pm \sqrt{13}.
\)

4) \(
(x^2 + x + 1)^2 = x^2 (3x^2 + x + 1);
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
a = x^2 + x + 1, \quad b = x^2,
\)

тогда уравнение можно переписать как:

\(
a^2 = b(2b + a);
\)

Раскроем скобки:

\(
a^2 = 2b^2 + ab;
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
a^2 — ab — 2b^2 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = b^2 + 4 \cdot 2b^2 = b^2 + 8b^2 = 9b^2,
\)

так как дискриминант равен \(9b^2\), он всегда неотрицателен. Теперь найдем корни уравнения:

Первый корень:

\(
a_1 = \frac{b — 3b}{2} = \frac{-2b}{2} = -b,
\)

Второй корень:

\(
a_2 = \frac{b + 3b}{2} = \frac{4b}{2} = 2b.
\)

Теперь рассмотрим каждое значение \(a\) по отдельности.

Первое значение:

\(
x^2 + x + 1 = -x^2;
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
2x^2 + x + 1 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7;
\)

Так как дискриминант меньше нуля:

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
x^2 + x + 1 = 2x^2;
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
x^2 — x — 1 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\)

Ответ:

\(
\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\)

5) \(
x^2 + \frac{9x^2}{(x + 3)^2} = 16;
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
\left(x^2 + \frac{9x^2}{(x + 3)^2} — 2x \cdot \frac{3x}{x + 3}\right) + 2x \cdot \frac{3x}{x + 3} = 16;
\)

Упрощаем уравнение:

\(
\left(x — \frac{3x}{x + 3}\right)^2 + \frac{6x^2}{x + 3} — 16 = 0;
\)

Теперь выразим первую часть:

\(
\left(\frac{x(x + 3) — 3x}{x + 3}\right)^2 + \frac{6x^2}{x + 3} — 16 = 0;
\)

Упрощаем:

\(
\left(\frac{x^2}{x + 3}\right)^2 + 6 \cdot \frac{x^2}{x + 3} — 16 = 0;
\)

Теперь введем замену:

Пусть

\(
y = \frac{x^2}{x + 3},
\)

тогда уравнение принимает вид:

\(
y^2 + 6y — 16 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант \(D\):

\(
D = 6^2 — 4 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

Первый корень:

\(
y_1 = \frac{-6 — 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8,
\)

Второй корень:

\(
y_2 = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2.
\)

Теперь рассмотрим каждое значение \(y\) по отдельности.

Первое значение:

\(
\frac{x^2}{x + 3} = -8;
\)

Умножим обе стороны на \(x + 3\):

\(
x^2 = -8(x + 3);
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 = -8x — 24;
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
x^2 + 8x + 24 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 24 = 64 — 96 = -32;
\)

Так как дискриминант меньше нуля:

\(
D < 0, \text{ значит } x \in \emptyset;
\)

Теперь рассмотрим второе значение:

\(
\frac{x^2}{x + 3} = 2;
\)

Умножим обе стороны на \(x + 3\):

\(
x^2 = 2(x + 3);
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 = 2x + 6;
\)

Переносим все в одну сторону:

\(
x^2 — 2x — 6 = 0;
\)

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28,
\)

так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Найдем их:

\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}.
\)

Ответ:

\(
1 \pm \sqrt{7}.
\)