Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.123 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
\(
\begin{align*}
1) & \quad |x+2| + |x-3| = 5; \\
2) & \quad |x-1| — 2|x-2| + 3|x-3| = 4; \\
3) & \quad \frac{|x-3|}{|x-2| — 1} = 1; \\
4) & \quad ||3-x| — x + 1| + x = 6.
\end{align*}
\)
1)
\(
|x + 2| + |x — 3| = 5;
\)
Если \(x < -2\), тогда:
\(
-x — 2 — x + 3 = 5;
\)
\(
2x = -4;
\)
\(
x = -2;
\)
Если \(-2 \leq x < 3\), тогда:
\(
x + 2 — x + 3 = 5;
\)
\(
5 = 5;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
x + 2 + x — 3 = 5;
\)
\(
2x = 6;
\)
\(
x = 3;
\)
Ответ:
\(
[-2; 3].
\)
2)
\(
|x — 1| — 2|x — 2| + 3|x — 3| = 4;
\)
Если \(x < 1\), тогда:
\(
-x + 1 + 2x — 4 — 3x + 9 = 4;
\)
\(
2x = 2;
\)
\(
x = 1;
\)
Если \(1 \leq x < 2\), тогда:
\(
x — 1 + 2x — 4 — 3x + 9 = 4;
\)
\(
4 = 4;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)
Если \(2 \leq x < 3\), тогда:
\(
x — 1 — 2x + 4 — 3x + 9 = 4;
\)
\(
4x = 8;
\)
\(
x = 2;
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
x — 1 — 2x + 4 + 3x — 9 = 4;
\)
\(
2x = 10;
\)
\(
x = 5;
\)
Ответ:
\(
(1; 2) \cup \{5\}.
\)
3)
\(
\frac{|x — 3|}{|x — 2| — 1} = 1;
\)
Если \(x < 2\), тогда:
\(
\frac{-x + 3}{-x + 2 — 1} = 1;
\)
\(
-x + 3 = -x + 1;
\)
\(
3 = 1;
\)
\(
x \in \emptyset;
\)
Если \(2 \leq x < 3\), тогда:
\(
\frac{-x + 3}{x — 2 — 1} = 1;
\)
\(
-x + 3 = x — 3;
\)
\(
2x = 6;
\)
\(
x = 3;
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
x — 3 = x — 3;
\)
\(
-3 = -3;
\)
\(
x \in \mathbb{R};
\)
Область определения:
\(
|x — 2| — 1 \neq 0;
\)
\(
|x — 2| \neq 1;
\)
\(
x — 2 \neq -1, \quad x — 2 \neq 1;
\)
\(
x \neq 1, \quad x \neq 3;
\)
Ответ:
\(
(3; +\infty).
\)
4)
\(
||3 — x| — x + 1| + x = 6;
\)
Если \(x < 3\), тогда:
\(
|3 — x — x + 1| + x = 6;
\)
\(
|4 — 2x| = 6 — x;
\)
Если \(x < 2\), тогда:
\(
4 — 2x = 6 — x;
\)
\(
x = -2;
\)
Если \(2 \leq x < 3\), тогда:
\(
-4 + 2x = 6 — x;
\)
\(
3x = 10;
\)
\(
x = 3\frac{1}{3};
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
| -3 + x — x + 1| + x = 6;
\)
\(
2 + x = 6;
\)
\(
x = 4;
\)
Ответ:
\(
-2; \quad 4.
\)
1)
\(
|x + 2| + |x — 3| = 5;
\)
Рассмотрим три случая:
Если \(x < -2\), тогда:
\(
-x — 2 — x + 3 = 5;
\)
\(
-2x + 1 = 5;
\)
\(
-2x = 4;
\)
\(
x = -2.
\)
Если \(-2 \leq x < 3\), тогда:
\(
x + 2 — x + 3 = 5;
\)
\(
5 = 5;
\)
Это верно для любого \(x\) в интервале \((-2, 3)\), то есть:
\(
x \in \mathbb{R} \text{ на } (-2, 3).
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
x + 2 + x — 3 = 5;
\)
\(
2x — 1 = 5;
\)
\(
2x = 6;
\)
\(
x = 3.
\)
Ответ:
\(
[-2; 3]
\)
2)
\(
|x — 1| — 2|x — 2| + 3|x — 3| = 4;
\)
Рассмотрим четыре случая:
Если \(x < 1\), тогда:
\(
-x + 1 + 2x — 4 — 3x + 9 = 4;
\)
Соберём подобные:
\(
-x + 1 + 2x — 4 — 3x + 9 = 4;
\)
Соберём подобные:
\(
-x + 2x — 3x + (1 — 4 + 9) = 4;
\)
\(
-2x + 6 = 4;
\)
\(
-2x = -2;
\)
\(
x = 1.
\)
Если \(1 \leq x < 2\), тогда:
\(
x — 1 + 2x — 4 — 3x + 9 = 4;
\)
Соберём подобные:
\(
(x + 2x — 3x) + (-1 — 4 + 9) = 4;
\)
\(
0 + 4 = 4;
\)
Это верно для любого \(x \in (1, 2)\).
Если \(2 \leq x < 3\), тогда:
\(
x — 1 — 2x + 4 — 3x + 9 = 4;
\)
Соберём подобные:
\(
(-4x + (4 — 1 + 9)) = 4;
\)
\(
-4x + 12 = 4;
\)
\(
-4x = -8;
\)
\(
x = 2.
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
x — 1 — 2x + 4 + 3x — 9 = 4;
\)
Соберём подобные:
\(
(0) + (-1 + 4 — 9) = 4;
\)
Это уравнение упрощается до:
\(
0 -6 = 4,
\)
что невозможно, следовательно, нет решений в этом случае.
Ответ:
\(
[1; 2] \cup \{5\}.
\)
3)
\(
\frac{|x — 3|}{|x — 2| — 1} = 1;
\)
Рассмотрим три случая:
Если \(x < 2\), тогда:
\(
\frac{-x + 3}{-x + 2 — 1} = 1;
\)
Умножим обе стороны на \(-x + 2 — 1\) (так как это отрицательное значение, знак неравенства изменится):
\(
-x + 3 = -x + 1;
\)
Соберем подобные:
\(
3 = 1;
\)
Это противоречие, значит, \(x \in \emptyset\).
Если \(2 \leq x < 3\), тогда:
\(
\frac{-x + 3}{x — 2 — 1} = 1;
\)
Умножим обе стороны на \(x — 2 — 1\):
\(
-x + 3 = x — 3;
\)
Соберем подобные:
\(
2x = 6;
\)
Разделим обе стороны на 2:
\(
x = 3.
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
\frac{x — 3}{x — 2 — 1} = 1;
\)
Умножим обе стороны на \(x — 2 — 1\):
\(
x — 3 = x — 3;
\)
Это всегда верно, значит, \(x \in \mathbb{R}\).
Область определения:
\(
|x — 2| — 1 \neq 0;
\)
Это означает:
\(
|x — 2| \neq 1;
\)
Следовательно:
\(
x — 2 \neq -1, \quad x — 2 \neq 1;
\)
То есть:
\(
x \neq 1, \quad x \neq 3.
\)
Ответ:
\(
(3; +\infty).
\)
4)
\(
||3 — x| — x + 1| + x = 6;
\)
Рассмотрим три случая:
Если \(x < 3\), тогда:
\(
|3 — x — x + 1| + x = 6;
\)
Упрощаем:
\(
|4 — 2x| = 6 — x.
\)
Если \(x < 2\), тогда:
\(
4 — 2x = 6 — x;
\)
Соберем подобные:
\(
-x + 4 = 6;
\)
Получаем:
\(
-x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -2.
\)
Если \(2 \leq x < 3\), тогда:
\(
-4 + 2x = 6 — x;
\)
Соберем подобные:
\(
3x = 10;
\)
Разделим обе стороны на 3:
\(
x = \frac{10}{3} \quad (или \quad 3 \frac{1}{3}).
\)
Если \(x \geq 3\), тогда:
\(
| -3 + x — x + 1| + x = 6;
\)
Упрощаем:
\(
2 + x = 6;
\)
Получаем:
\(
x = 4.
\)
Ответ:
\(x = -2; \quad x = 4.\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.