ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.126 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение

\(
\frac{(x — a)(x — 4a)}{x + 12} = 0
\)

имеет единственный корень?

Дано уравнение:
\(
\frac{(x — a)(x — 4a)}{x + 12} = 0;
\)

Имеет единственный корень:
\(
x — a = x + 12, \quad x — 4a = x + 12;
\)

Отсюда:
\(
a = -12, \quad 4a = -12;
\)

То есть:
\(
a = -12, \quad a = -3;
\)

Ответ:
\(
-12; \quad -3.
\)

Дано уравнение:
\(
\frac{(x — a)(x — 4a)}{x + 12} = 0;
\)

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю. Таким образом, уравнение имеет корни, когда:
\(
(x — a)(x — 4a) = 0.
\)

Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть:
1. \(x — a = 0 — x = a\);
2. \(x — 4a = 0 — x = 4a\).

Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы оба корня совпадали. Это происходит, когда:
\(
a = 4a.
\)

Решим это уравнение:
\(
a — 4a = 0 — -3a = 0 — a = 0.
\)

Однако, в данном случае также необходимо учесть, что дробь не должна быть неопределенной. Знаменатель равен нулю при:
\(
x + 12 = 0 — x = -12.
\)

Теперь рассмотрим условия, при которых \(x = a\) или \(x = 4a\) совпадает с \(x = -12\).

1. Если \(x = a\), то:
\(
a = -12.
\)

2. Если \(x = 4a\), то:
\(
4a = -12 — a = -3.
\)

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при следующих значениях \(a\):
\(
a = -12 \quad \text{или} \quad a = -3.
\)

Ответ:
\(
-12; \quad -3.
\)