ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.127 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\frac{4}{x — 3} — \frac{a}{2} = 2;
\)

2)
\(
\frac{2x}{2x + a} — \frac{a — 2}{2x — a} — \frac{4a — 2a^2}{4x^2 — a^2} = 0;
\)

3)
\(
\frac{6}{x^2 — 16} — \frac{1}{x — 4} = \frac{3a}{4 + x}.
\)

1)
\(
\frac{4}{x — 3} — \frac{a}{2} = 2;
\)

\(
4 \cdot 2 — a(x — 3) = 2 \cdot 2 (x — 3);
\)

\(
8 — ax + 3a = 4x — 12;
\)

\(
x(4 + a) = 20 + 3a;
\)

\(
x = \frac{20 + 3a}{4 + a};
\)

Область определения:
\(
x — 3 \neq 0;
\)

\(
x \neq 3;
\)

\(
\frac{20 + 3a}{4 + a} \neq 3;
\)

\(
20 + 3a \neq 12 + 3a;
\)

\(
a \in \mathbb{R};
\)

Ответ: если \(a \neq -4\), то
\(
x = \frac{20 + 3a}{4 + a};
\)

если \(a = -4\), то корней нет.

2)
\(
\frac{2x}{2x + a} — \frac{a — 2}{2x — a} — \frac{4a — 2a^2}{4x^2 — a^2} = 0;
\)

\(
2x(2x — a) — (a — 2)(2x + a) — (4a — 2a^2) = 0;
\)

\(
4x^2 — 2ax — 2ax — a^2 + 4x + 2a — 4a + 2a^2 = 0;
\)

\(
4x^2 — 4ax + 4x + a^2 — 2a = 0;
\)

\(
4x^2 + 4(1 — a)x + (a^2 — 2a) = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 4^2 (1 — a)^2 — 4 \cdot 4 (a^2 — 2a);
\)

\(
D = 16 — 32a + 16a^2 — 16a^2 + 32a = 16,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{-(4 — 4a) — 4}{2 \cdot 4} = \frac{a — 2}{2};
\)

\(
x_2 = \frac{-(4 — 4a) + 4}{2 \cdot 4} = \frac{a}{2}.
\)

Область определения:
\(
2x + a \neq 0, \quad 2x — a \neq 0;
\)

\(
x \neq -\frac{a}{2}, \quad x \neq \frac{a}{2};
\)

\(
\frac{a — 2}{2} \neq \frac{a}{2}, \quad \frac{a — 2}{2} \neq \frac{a}{2};
\)

\(
a \neq 1, \quad a \in \mathbb{R};
\)

Ответ: если \(a \neq 1\), тогда
\(
x = \frac{a — 2}{2};
\)

если \(a = 1\), то корней нет.

3)
\(
\frac{6}{x^2 — 16} — \frac{1}{x — 4} = \frac{3a}{4 + x};
\)

\(
6 — (x + 4) = 3a(x — 4);
\)

\(
6 — x — 4 = 3ax — 12a;
\)

\(
x(3a + 1) = 2 + 12a;
\)

\(
x = \frac{2 + 12a}{3a + 1};
\)

Область определения:
\(
x — 4 \neq 0, \quad x + 4 \neq 0;
\)

\(
x \neq 4, \quad x \neq -4;
\)

\(
\frac{2 + 12a}{3a + 1} \neq 4, \quad \frac{2 + 12a}{3a + 1} \neq -4;
\)

\(
2 + 12a \neq 12a + 4, \quad 2 + 12a \neq -12a — 4;
\)

\(
a \in \mathbb{R}, \quad 24a \neq -6, \quad a \neq -\frac{1}{4};
\)

Ответ: если \(a \neq -\frac{1}{3}\), \(a \neq -\frac{1}{4}\), то
\(
x = \frac{2 + 12a}{3a + 1};
\)

если \(a = -\frac{1}{3}\) или \(a = -\frac{1}{4}\), то корней нет.

1) Дано уравнение:
\(
\frac{4}{x — 3} — \frac{a}{2} = 2;
\)

Умножим обе стороны на \(2(x — 3)\) для устранения дробей:
\(
2 \cdot 4 — a(x — 3) = 2 \cdot 2 (x — 3);
\)

Раскроем скобки:
\(
8 — ax + 3a = 4x — 12;
\)

Соберем все члены, содержащие \(x\), в одну часть:
\(
ax + 4x = 8 + 3a + 12;
\)

Приведем подобные:
\(
x(4 + a) = 20 + 3a;
\)

Теперь выразим \(x\):
\(
x = \frac{20 + 3a}{4 + a};
\)

Область определения:
1. Знаменатель не должен равняться нулю:
\(
x — 3 \neq 0 — x \neq 3;
\)

2. Также проверим, что
\(
\frac{20 + 3a}{4 + a} \neq 3;
\)

Решим это неравенство:
\(
20 + 3a \neq 12 + 3a — a \in \mathbb{R}.
\)

Ответ: если \(a \neq -4\), то
\(
x = \frac{20 + 3a}{4 + a};
\)

если \(a = -4\), то корней нет.

2) Дано уравнение:
\(
\frac{2x}{2x + a} — \frac{a — 2}{2x — a} — \frac{4a — 2a^2}{4x^2 — a^2} = 0;
\)

Умножим обе стороны на \((2x + a)(2x — a)(4x^2 — a^2)\) для устранения дробей:
\(
2x(2x — a)(4x^2 — a^2) — (a — 2)(2x + a)(4x^2 — a^2) — (4a — 2a^2)(2x + a)
\)
\(
(2x — a) = 0;
\)

Раскроем скобки и упрощаем:
\(
2x(2x — a) — (a — 2)(2x + a) — (4a — 2a^2) = 0;
\)

Соберем все члены:
\(
4x^2 — 4ax + (a^2 — 2a) = 0;
\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение:
\(
4x^2 + 4(1 — a)x + (a^2 — 2a) = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (4(1 — a))^2 — 4 \cdot 4(a^2 — 2a);
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 16(1 — 2a + a^2) — 16(a^2 — 2a) = 16.
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(4 — 4a) — 4}{8} = \frac{a — 2}{2};
\)

\(
x_2 = \frac{-(4 — 4a) + 4}{8} = \frac{a}{2}.
\)

Область определения:
1. \(2x + a \neq 0 — x \neq -\frac{a}{2};\)

2. \(2x — a \neq 0 — x \neq \frac{a}{2};\)

Также учитываем, что \(a \neq 1, \quad a \in \mathbb{R};\)

Ответ: если \(a \neq 1\), то
\(
x = \frac{a — 2}{2};
\)

если \(a = 1\), то корней нет.

3) Дано уравнение:
\(
\frac{6}{x^2 — 16} — \frac{1}{x — 4} = \frac{3a}{4 + x};
\)

Перепишем уравнение:
\(
6 — (x + 4) = 3a(x — 4);
\)

Упростим его:
\(
6 — x — 4 = 3ax — 12a;
\)

Соберем все члены с \(x\):
\(
x(3a + 1) = 2 + 12a;
\)

Теперь выразим \(x\):
\(
x = \frac{2 + 12a}{3a + 1};
\)

Область определения:
1. \(x — 4 \neq 0 — x \neq 4;\)

2. \(x + 4 \neq 0 — x \neq -4;\)

Также проверим, что
\(
\frac{2 + 12a}{3a + 1} \neq 4, \quad \frac{2 + 12a}{3a + 1} \neq -4;
\)

Решим эти неравенства:
1. \(2 + 12a \neq 12a + 4;\)

Это дает \(a \in \mathbb{R}, \quad a \neq -\frac{1}{3};\)

Ответ: если \(a \neq -\frac{1}{3}\), \(a \neq -\frac{1}{4}\), то
\(
x = \frac{2 + 12a}{3a + 1};
\)

если \(a = -\frac{1}{3}\) или \(a = -\frac{1}{4}\), то корней нет.