ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.129 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении \(p\) имеет два корня уравнение:

1)
\(
2x^2 — px — 1 = 0;
\)

2)
\(
x^2 + px + p — 3 = 0.
\)

1)
\(
2x^2 — px — 1 = 0;
\)

\(
D = p^2 + 4 \cdot 2 = p^2 + 8 > 0;
\)

\(
p^2 > -8, \quad p \in \mathbb{R};
\)

Ответ: при любом \(p\).

2)
\(
x^2 + px + p — 3 = 0;
\)

\(
D = p^2 — 4(p — 3) = p^2 — 4p + 12 > 0;
\)

\(
D = 16 — 48 = -32;
\)

\(
D < 0, \quad \text{значит корней нет в } \mathbb{R};
\)

Ответ: при любом \(p\).

При каком \(p\) уравнение имеет два корня:

1) Рассмотрим уравнение:
\(
2x^2 — px — 1 = 0;
\)

Для определения количества корней уравнения используем дискриминант \(D\), который вычисляется по формуле:
\(
D = b^2 — 4ac,
\)
где \(a = 2\), \(b = -p\), и \(c = -1\). Подставим значения:
\(
D = (-p)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = p^2 + 8.
\)

Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля:
\(
D > 0 — p^2 + 8 > 0.
\)

Поскольку \(p^2\) всегда неотрицательно для всех \(p \in \mathbb{R}\), то
\(
p^2 + 8 > 0
\)
всегда выполняется. Таким образом, уравнение имеет два корня при любом значении \(p\).

Ответ: при любом \(p\).

2) Рассмотрим второе уравнение:
\(
x^2 + px + p — 3 = 0;
\)

Снова вычислим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac,
\)
где \(a = 1\), \(b = p\), и \(c = p — 3\). Подставим значения:
\(
D = p^2 — 4(1)(p — 3) = p^2 — 4p + 12.
\)

Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля:
\(
D > 0 — p^2 — 4p + 12 > 0.
\)

Вычислим дискриминант этого квадратного выражения:
\(
D’ = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 — 48 = -32.
\)

Поскольку дискриминант \(D’\) отрицателен, это означает, что квадратное уравнение \(p^2 — 4p + 12 = 0\) не имеет действительных корней. Следовательно, выражение \(p^2 — 4p + 12\) всегда больше нуля для всех \(p \in \mathbb{R}\).

Однако, для второго уравнения это означает, что дискриминант \(D < 0\), следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при любом \(p\) корней нет.