ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.134 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каком значении \( b \) корни уравнения \( x^2 + bx — 7 = 0 \) являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано уравнение:
\(
x^2 + bx — 7 = 0;
\)

1) Корни противоположны:
\(
x^2 + bx = (-x)^2 + b(-x) — 7;
\)

\(
x^2 + bx = x^2 — bx;
\)

\(
bx = -bx;
\)

\(
b = -b;
\)

\(
b = 0;
\)

2) Корни уравнения:
\(
x^2 — 7 = 0;
\)

\(
x^2 = 7;
\)

\(
x = \pm \sqrt{7};
\)

Ответ:
\(
b = 0; \quad x = \pm \sqrt{7}.
\)

Дано уравнение:
\(
x^2 + bx — 7 = 0;
\)

1) Чтобы корни уравнения были противоположны, обозначим один корень как \( x_1 \) и другой как \( x_2 = -x_1 \). Подставим эти значения в уравнение:

\(
x_1^2 + bx_1 — 7 = 0
\)

и

\(
(-x_1)^2 + b(-x_1) — 7 = 0.
\)

Так как \((-x_1)^2 = x_1^2\), уравнение можно записать как:

\(
x_1^2 + b(-x_1) — 7 = 0.
\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( x_1^2 + bx_1 — 7 = 0 \)
2. \( x_1^2 — bx_1 — 7 = 0 \)

Теперь приравняем правые части этих уравнений:

\(
x_1^2 + bx_1 = x_1^2 — bx_1.
\)

Упростим это уравнение, вычитая \( x_1^2 \) с обеих сторон:

\(
bx_1 = -bx_1.
\)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\(
bx_1 + bx_1 = 0.
\)

Это можно записать как:

\(
2bx_1 = 0.
\)

Поскольку \( x_1 \) не может быть равным нулю (в противном случае корни не будут противоположны), мы можем заключить, что:

\(
b = 0.
\)

2) Теперь найдем корни уравнения при \( b = 0 \):

Подставим значение \( b \) в уравнение:

\(
x^2 — 7 = 0.
\)

Решим это уравнение:

\(
x^2 = 7.
\)

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

\(
x = \pm \sqrt{7}.
\)

Ответ:

\(
b = 0; \quad x = \pm \sqrt{7}.
\)